Задача 2. Получить формулу для пороговой энергии образования электрон-позитронной пары -квантом в поле ядра и электрона.

Решение. Символическая запись процесса образования электрон-позитронной пары -квантом в кулоновском поле какой-либо частицы выглядит следующим образом:

где символом обозначена частица мишени (ядро или электрон).

Закон сохранения энергии для рассматриваемого процесса в системе отсчета, относительно которой частица до взаимодействия с -квантом покоится, необходимо записать для состояний частиц до и после взаимодействия:

где  ‒ энергия -кванта до взаимодействия с веществом, и  ‒ энергии покоя частицы мишени и электрона соответственно, ‒ суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц (электрона и позитрона) и оставшейся частицы .

Поскольку каждое слагаемое в последней формуле ‒ неотрицательная величина, энергия -кванта может быть больше либо равна удвоенной энергии покоя электрона:

Другими словами, -квант не с любой энергией может превратиться в пару электрон-позитрон. В этой связи, возникает вопрос об определении минимальной энергии -кванта, при которой рассматриваемый процесс энергетически возможен. Эта энергия и носит название пороговой энергии образования электрон-позитронной пары в поле какой-либо частицы.

Возвращаясь к закону сохранения энергии, нетрудно заметить, что минимальному значению  соответствует минимально возможное значение суммарной кинетической энергии . Равенство нулю рассматриваемой величины означает, что кинетические энергии образовавшихся частиц и кинетическая энергия частицы  равны нулю. А это, в свою очередь, описывает случай превращения -кванта в электрон и позитрон, находящихся в покое вместе с частицей . При этом суммарный импульс частиц , , будет равен нулю, тогда как суммарный импульс частиц , до взаимодействия в рассматриваемой системе отсчета равен импульсу налетающего -кванта. Последнее противоречие показывает, в частности, что искомая пороговая энергия всегда строго больше удвоенной энергии покоя электрона.

Тем не менее, условие равенства нулю суммарной кинетической энергии  образовавшихся частиц и частицы, в поле которой произошел процесс, может быть использовано для отыскания пороговой энергии образования пары, но в системе центра инерции частиц (в этой системе отсчета пороговая энергия процесса будет определяться как минимальное значение суммы энергии -кванта и кинетической энергии частицы ). Обратный переход в выбранную систему отсчета и, соответственно, нахождение пороговой энергии в этой системе отсчета, необходимо осуществить в общем случае с помощью преобразований Лоренца.

В рамках рассматриваемой задачи переход из одной инерциальной системы отсчета в другую целесообразно проводить с использованием релятивистского инварианта

где ‒ полная энергия частицы или системы частиц;  ‒ импульс частицы или суммарный импульс частиц системы.

Значение инварианта для частиц до взаимодействия в системе отсчета, связанной с первоначально покоящейся частицей  равно Для этих же частиц, но в системе их центра инерции инвариант запишется в виде , где  ‒ сумма энергии -кванта и полной энергии частицы . Здесь учтено, что суммарный импульс частиц в системе центра инерции равен нулю.

Поскольку значение инварианта не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета в другую, два последних выражения можно приравнять друг другу:

Пороговой энергии образования электрон-позитронной пары в системе центра инерции соответствует равенство нулю кинетических энергий образовавшихся частиц и частицы, в поле которой произошел процесс. Поэтому

Приравнивая друг другу левую и правую части двух последних равенств, находим уравнение для отыскания пороговой энергии образования пары в системе отсчета первоначально покоящейся частицы :

Энергия и импульс фотона связаны соотношением

поэтому

Если образование пары происходит в поле тяжелой частицы, например, ядра

В том случае, когда процесс происходит в поле электрона, пороговая энергия увеличивается и становится равной

Увеличение пороговой энергии образования электрон-позитронной пары в поле легкой частицы ‒ следствие передачи ей некоторой существенной части энергии -кванта.

Ответ. Пороговая энергия образования электрон-позитронной пары -квантом в поле частицы с массой составляет 

>>Задачи. Часть 1

Примеры решения задач. Задача 1 <<