1. Одной из простейших вариаций параметризации Штернхаймера для расчета поправки на эффект плотности в формуле для удельных ионизационных потерь является выражение:

   
   

   где все параметры заданы в замкнутой аналитической форме.

   Параметры и определяются следующими соотношениями:

   
   

   где – массовое число ядер среды, – плотность среды в г/см , – средняя энергия ионизации атомов, выраженная в эВ.

   Величина находится из условий:

   
   

   Значения определяются из соотношений:

   
   

   Рассчитать величину поправки на эффект плотности для протонов с энергиями ГэВ, ГэВ и ГэВ, движущихся в азоте и свинце. Сравнить вклад этой поправки с релятивистскими эффектами в удельных ионизационных потерях и определить, какую долю от полных ионизационных потерь составляет эффект плотности.

   Ответ

   Для протонов в азоте эффект плотности становится значимым только при очень высоких энергиях. Для протонов с энергией ГэВ величина соответствующей поправки в формуле для удельных ионизационных потерь составляет (отвечает за полных ионизационных потерь). В случае свинца (из-за его высокой плотности) влияние эффекта плотности выражено сильнее и наблюдается уже при более низких энергиях: для протонов с энергией ГэВ поправка ( от полных потерь энергии), при ГэВ вклад эффекта плотности в удельные потери возрастает до (что сотавляет от суммарных энергетических потерь).

2. Рассчитайте ожидаемые удельные потери энергии протонов с импульсом Гэв/ в бериллии. Какую долю от общих потерь составляет поправка на эффект плотности?

   Ответ

   МэВ/см; .

3. Определить диапазон изменения параметра , при котором величина удельных ионизационных потерь энергии, описываемых формулой Бете, достигает минимума при изменении зарядового числа ядер среды от до .

   Ответ

   Нахождение локального экстремума функции , задаваемой формулой Бете, от переменной приводит к необходимости решения трансцедентного уравнения вида . Корень уравнения, соответствующий быстрым частицам, с ростом зарядового числа ядер среды (т.е. с ростом величины среднего ионизационного потенциала атомов среды ) монотонно уменьшается. Решение уравнения численными методами дает искомый диапазон: . Граничные точки указанного отрезка соответствуют предельным значениям изменения условия задачи: для среды с и для .

   Более точный анализ энергетической зависимости удельных ионизационных потерь с учетом эффекта плотности приводит к следующим значениям , соответствующим миниму рассматриваемой функции: при изменении от до .

4. Сколько пар ионов на см пути в воздухе создает -мезон, скорость которого соответствует минимальной ионизации? Принять, что на создание одной пары ионов в воздухе -мезон в среднем затрачивает эВ.

   Ответ

   Минимальная величина удельных ионизационных потерь энергии -мезона при его движении в воздухе составляет кэВ/см и достигается при энергии МэВ. Соответственно, на первом сантиметре пути частицы указанной энергии образуется в среднем пары ионов.

5. Используя формулу Бете, подсчитать потери энергии протонов с энергией ГэВ на ионизацию в МэВ/(гсм) в жидком водороде и свинце. Зависят ли ионизационные потери энергии частицы от ее массы? Укажите приблизительное значение энергии, теряемой заряженной частицей с на пути г/см за счет ионизационных потерь (в минимуме ионизации).

   Решение

   Удельная тормозная способность жидкого водорода и свинца для протонов с энергией ГэВ составляет МэВ/(гсм) и МэВ/(гсм) соответственно.

   Потери энергии заряженной частицы, движущейся в тонкой мишени, в минимуме ионизации не зависят от массы частицы и слабо зависят от характеристик среды (см. предыдущую задачу). При прохождении частиц с через мишень с массовой толщиной г/см потери энергии варьируются в пределах МэВ. Энергетические потери, близкие к МэВ имеют место в газообразном или жидком гелии. При переходе к более высоким ядер вещества потери уменьшаются и достигают величины, приблизительно равной МэВ для самых тяжелых сред.

6. Вычислить удельные ионизационные потери энергии -частицы с энергией МэВ в газообразном аргоне. Как изменятся удельные потери, когда частица потеряет своей энергии?

   Решение

   Альфа-частицы при движении в газообразном аргоне с кинетической энергией МэВ не могут быть отнесены к категории быстрых. Их скорость, равная см/с, сравнима со средней скоростью электронов атома аргона, составляющей см/с согласно модели Томаса-Ферми. В этой связи, строгий расчет удельных ионизационных потерь для рассматриваемого случая не может быть выполнен с использованием формулы Бете.

   Поскольку для -частиц энергии МэВ параметр , удельные потери удовлетворительно описываются модифицированной формулой Бете, включающей оболочечную поправку, поправки Блоха и Баркаса. Суммарная относительная величина этих поправок для не слишком низких энергий и легких сред составляет не более пары десятков процентов. Поэтому при отсутствии требований высокой точности расчётов использование простой формулы Бете в нашем случае представляется допустимым.

   При дальнейшем снижении энергии наряду с чистой ионизацией все большую роль в торможении частиц начинают играть процессы возбуждения атомов и перезарядки (к концу траектории увеличивается доля потерь энергии на чисто упругое рассеяние). Для торможение частиц все еще обусловлено неупругими процессами, однако не имеет удовлетворительного теоретического описания. Важно, что в указанной области тормозная способность как функция энергии носит немонотонный характер с выраженным максимумом.

   Для нахождения удельных ионизационных потерь -частиц с энергиями МэВ () и МэВ () в газообразном аргоне целесообразно использовать таблицы или специализированные базы данных, где представлены значения электронной части тормозной способности различных веществ для -частиц в широком энергетическом диапазоне. Определение при энергии, не входящей в дискретный набор табулированных значений, можно проводить простым методом линейной интерполяции.

   В случае использования базы данных NIST ASTAR линейные функции будут проходить через точки и для энергии МэВ и и для энергии МэВ (обратите внимание, что первая пара точек находится на убывающей части кривой, а вторая – на возрастающей).

   Общее уравнение интерполирующей функции на отрезке имеет вид:

   
   

   где и – значения электронной части тормозной способности вещества для энергий, соответствующих граничным точкам указанного отрезка.

   Удельные тормозные способности аргона для -частиц рассматриваемых энергий будут, таким образом, равны

   
   

   
   

   Соответствующие удельные потери составят МэВ/см и МэВ/см.

   На основании полученных значений можно заключить, что в ходе торможения, при котором -частица теряет \% своей первоначальной энергии, удельные ионизационные потери изменяются не монотонно, достигая, тем не менее, величины в раза большей, чем при влете в вещество.

   Использование формулы Бете для расчета удельных потерь приводит к небольшой ошибке для энергии МэВ и довольно заниженному результату для энергии МэВ: искомая величина получается равной МэВ/см и МэВ/см соответственно.

7. В экспериментах по исследованию одиночных радиационных эффектов, возникающих в электронной аппаратуре под действием ядерной компоненты галактических космических лучей, применяется выведенный пучок ионов бустера ускорителя с энергией МэВ/нуклон и кремниевая мишень. Используя таблицы базы данных NIST PSTAR по удельным потерям энергии протонов, определите тормозную способность кремния для ядер с энергиями МэВ/нуклон и МэВ/нуклон.

   Решение

   Тормозная способность кремния для ядер рассматриваемых энергий в значительной степени определяется ее электронной компонентой (т.е. обуславливается неупругими столкновениями проходящих частиц с атомами среды), причем доминирующий вклад вносят процессы ионизации. Поскольку ионов составляет и соответственно для энергий МэВ/нуклон и МэВ/нуклон, электронная часть тормозной способности удовлетворительно описывается формулой Бете. В этой связи, для использования данных по удельным потерям энергии протонов достаточно найти связь удельных ионизационных потерь энергии ионов и протонов в одном и том же веществе.

   Анализируя формулу Бете нетрудно заметить, что удельные ионизационные потери энергии заряженной частицы в веществе определяются свойствами вещества, а также зарядом и скоростью самой частицы. Как следствие, удельные ионизационные потери для двух различных частиц, движущихся с одинаковой скоростью в одном и том же веществе, соотносятся между собой как квадраты отношений их зарядов. Для ядер и протонов это соотношение определяется равенством:

   
   

   где – зарядовое число ядер висмута. Если – кинетическая энергия ионов , то электронную часть тормозной способности вещества для протонов следует рассматривать при энергии , где и – массы протона и ядра соответственно. В случаях, когда не требуется высокая точность (можно ограничиться двумя значащими цифрами), указанная кинетическая энергия протонов совпадает с энергией ионов, выраженной в МэВ на нуклон.

   Значения тормозной способности кремния для протонов с энергиями и МэВ находятся с помощью линейной интерполяции данных NIST PSTAR (см. решение предыдущей задачи). Для искомых величин расчеты дают и МэВсмг соответственно. Значения массовой тормозной способности кремния для ионов составят, таким образом, МэВсммг для энергии МэВ/нуклон и МэВсммг для энергии МэВ/нуклон.

   Истинные значения удельных потерь энергии ядер , однако, оказываются ниже рассчитанных. Указанное расхождение тем выше, чем ниже энергия падающих ионов.

   Причина ошибки кроется в неучтенном для тяжелых многозарядных ионов явлении перезарядки – изменении зарядового состояния частиц при их прохождении через вещество. Для тяжелых ионов даже средних энергий перезарядка может оказывать существенное влияние на величину удельных потерь сразу при влете в вещество.

   Захват электронов пролетающим ионом активно осуществляется тогда, когда скорость электрона , оказавшегося на той или иной орбите, превышает скорость самого иона : , где – зарядовое число иона, – главное квантовое число. Для "голого" ядра висмута захват электронов имеет место уже при энергии МэВ/нуклон. В данном случае электроны занимают внутренние оболочки: при .

   При замедлении наряду с захватом возникает и обратный процесс – потеря проходящим ионом части приобретенных электронов.

   Для описания торможения тяжелых ионов с энергией, превышающей кэВ/нуклон, с учетом перезарядки в соотношение для удельных потерь энергии ионов и протонов одинаковой скорости вводится так называемое приведенное торможение :

   
   

   либо же, что физически более прозрачно, эффективный заряд иона , определяемый равенством

   
   

   Связь эффективного заряда с зарядовым числом иона записывают в виде:

   
   

   Для ионов указанных выше энергий приведенное торможение или функция представляют собой универсальные функции, определяемые исключительно типом ионов и не зависящие от свойств среды. Одной из наиболее точных аппроксимаций приведенного торможения для ионов с атомными номерами от до в мишенях с атомными номерами от до служит следующая зависимость:

   
   

   где , , причем кинетическая энергия иона подставляется в кэВ, а его масса – в атомных единицах массы.

   Проведенные с использованием представленных формул расчеты массовой тормозной способности кремния для ионов с учетом перезарядки дают значения и МэВсммг для энергий и МэВ/нуклон соответственно. Значения искомой тормозной способности, таким образом, составят и МэВ/см.

   В качестве примера значительного влияния перезарядки на величину удельных потерь приведем расчеты массовой тормозной способности кремния для наиболее низкоэнергетических ионов рассматриваемого эксперимента. Для энергии МэВ/нуклон искомая величина без учета перезарядки составляет МэВсммг, с учетом – МэВсммг.

>>Задачи. Часть 4

Задачи. Часть 2 <<