Используя формулу Бете для удельных ионизационных потерь, установите, как соотносятся пробеги двух быстрых тяжелых заряженных частиц, движущихся в одной среде с одинаковыми начальными скоростями. Рассмотрите общий, релятивистский случай.
, где – пробег частицы с зарядом и массой , а – пробег частицы с зарядом и массой .
Приведенное соотношение имеет место вплоть до таких скоростей частиц, когда , где – масса электрона, – Лоренц-фактор.
С помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь в пренебрежении зависимостью кулоновского логарифма от энергии получить общее выражение для приближенного расчета пробега быстрой тяжелой заряженной частицы в веществе с заданной начальной кинетической энергией. Привести соответствующие формулы для нерелятивистского и ультрарелятивистского пределов.
, где , – зарядовое число и масса падающей частицы, – ее кинетическая энергия при влете в вещество; – масса электрона, – концентрация электронов в среде. В наиболее простом случае коэффициент торможения, соответствующий формуле Бете, рассчитывается для : квадрат отношения скорости налетающей частицы к скорости света , произведение на квадрат Лоренц-фактора , максимальная энергия, переданная частицей в одном столкновении со свободным электроном среды, (), – средний ионизационный потенциал атомов среды, – поправка на эффект плотности.
Для нерелятивистского случая () пробег , где . В ультрарелятивистском пределе () пробег , где с .
С помощью формулы Бете в приближении и полагая рассчитать пробег дейтронов с энергией МэВ в графите.
см.
С помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь провести приближенный расчет массового пробега заряженных -мезонов с энергией ГэВ в аэрогеле диоксида кремния.
г/см.
Используя формулу Бете для удельных ионизационных потерь в пренебрежении зависимостью кулоновского логарифма от энергии, найти связь пробегов быстрой заряженной частицы с энергиями и в одной и той же среде. Рассмотреть также нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы полученного соотношения.
, где – масса частицы, и – пробеги частицы с начальными энергиями и соответственно. В нерелятивистском случае , а в ультрарелятивистском – .
Оцените, какую часть полного пробега проходят протоны, потеряв половину своей первоначальной энергии а) МэВ; б) ГэВ.
а) ; б) .
Рассчитайте отношение пробегов частиц, движущихся в бериллиевой мишени с одинаковыми начальными кинетическими энергиями:
а) протоны и -частицы с энергией МэВ;
б) протоны и полностью ионизированные атомы с энергией ГэВ.
Сравните полученные значения с соответствующими отношениями пробегов, но при одинаковых начальных скоростях частиц.
. Здесь , – зарядовое число и масса протона (-частицы) соответственно, коэффициент торможения протонов (-частиц) , где – масса электрона, – начальная кинетическая энергия падающих частиц.
Отношение пробегов быстрых частиц при равных скоростях не зависит от значения скорости и характеристик вещества, а определяется только соотношением масс и зарядовых чисел частиц: .
б) . Зарядовое число и масса изотопа помечены символом соответствующего химического элемента. Коэффициент торможения протонов , где , а . Коэффициент торможения ядер при заданной энергии может рассчитан в нерелятивистском пределе: .
Отношение пробегов протона и ядра при равных начальных скоростях равно .
Если вычисления не требуют высокой точности, можно считать, что пробеги двух частиц, движущихся в одной и той же среде с одинаковыми начальными энергиями, соотносятся как . В нерелятивистском случае отношение пробегов, таким образом, равно обратному отношению масс частиц и квадратов их зарядовых чисел. В ультрарелятивистском пределе отношение пробегов определяется только квадратом обратного отношения зарядов частиц.
Определить, во сколько раз пробег однократно ионизированного атома с начальной энергией ГэВ в графите больше пробега в а) алюминии; б) свинце. Сравните полученные значения с результатами расчетов по эмпирической формуле, связывающей пробеги частицы в разных средах.
а) ; б) .
Точность соотношения для пробега быстрой заряженной частицы с начальной энергией , полученного с помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь в пренебрежении зависимостью кулоновского логарифма от энергии и при подстановке , может быть заметно улучшена, если воспользоваться следующим приближенным вычислением интеграла вида , где функции сильно, а слабо зависят от своего аргумента: , значение определяется из условия .
Проделайте соответствующие вычисления для получения общего выражения для пробега с помощью формулы Бете. Приведите явный вид и запишите итоговую формулу для расчета пробега.
, где – масса частицы. Средний пробег тяжелой заряженной частицы с зарядом , где – масса электрона, – концентрация электронов в среде.
Найти средний пробег протонов с энергией ГэВ в меди.
Расчеты произвести с помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь энергии, приняв кулоновский логарифм не зависящей от энергии величиной, значение которой равно значению функции в точке а) , где – начальная энергия частицы; б) , где , – начальная энергия частицы в единицах ее энергии покоя : (см. предыдущую задачу). Сравнить полученные значения с табличными данными по пробегам протонов.
а) см; б) см.
Рассчитать пробег протона с энергией ГэВ в воздухе. Протон ускоряется на ускорителе и движется в воздухе горизонтально.
км.
В целях предотвращения неконтролируемого воздействия протонного пучка ускорителя неиспользованные протоны ( ГэВ) останавливают в твердом грунте. Какие размеры по пучку должна иметь насыпь из грунта, если считать, что протоны взаимодействуют только электромагнитным образом? Каковы причины того, что реально используемая длина поглотителя меньше полученного значения?
Минимальная толщина насыпи из грунта, останавливающей все протоны с заданной кинетической энергией вдоль направления их первоначального падения равна пробегу этих частиц в рассматриваемом веществе. При учете только ионизационных потерь энергии пробег быстрых тяжелых заряженных частиц с начальной энергией может быть рассчитан с помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь. С хорошей степенью точности для многокомпонентного вещества
где – постоянная тонкой структуры, – переходная константа, – число Авогадро, – масса электрона, – масса падающей частицы, – ее зарядовое число, – плотность среды, – усредненное по массовым долям компонентов вещества отношение зарядового числа и атомной массы. Кулоновский логарифм , где – средний ионизационный потенциал атомов среды, максимальная переданная свободному электрону среды энергия , при этом отношение скорости частицы к скорости света и Лоренц-фактор соответствуют кинетической энергии . Поправка на эффект плотности для протонов с энергией ГэВ может быть рассчитана по формуле: , где – плазменная частота колебаний.
Элементарные расчеты дают см м.
Приближенное значение пробега частиц высоких энергий также может быть получено с помощью простой формулы:
где – удельные ионизационные потери энергии частиц с начальной энергией , – удельные ионизационные потери в минимуме ионизации.
Такой способ расчета пробега обоснован довольно плавной зависимостью удельных потерь от энергии для релятивистских частиц и справедлив в том случае, если остаточный пробег частицы при энергии, соответствующей минимуму ионизации, мал в сравнении с уже пройденным расстоянием.
Так, для протонов кинетическая энергия, при которой зависимость имеет локальный минимум, варьируется в пределах ГэВ (она слабо зависит от свойств среды). Соответствующие этим энергиям остаточные массовые пробеги г/см. В предположении, что во всем диапазоне изменения энергии удельные потери равны средним удельным потерям в области от до , а также с учетом плавного роста удельных потерь с ростом энергии на рассматриваемом участке, для оценки пробега получаем формулу . Поскольку минимальное значение удельной тормозной способности также слабо зависит от свойств среды и для протонов находится в диапазоне от до МэВ/гсм, г/см, где энергия выражена в МэВ. Отсюда заключаем, что если начальная кинетическая энергия протонов ГэВ, для расчета пробега можно использовать приведенную выше формулу.
Удельные ионизационные потери энергии протонов с начальной энергией ГэВ в грунте МэВ/см.
Минимум ионизации для грунта достигается при . Соответствующая этому значению энергия протонов равна ГэВ. Минимальное значение удельных ионизационных потерь получается равным МэВ/см. Искомый пробег, таким образом, равен см= м.
В действительности, толщина поглотителя меньше, т.к. протоны эффективно теряют свою энергию в столкновениях с атомными ядрами. Эти столкновения сопровождаются множественным рождением частиц и, следовательно, быстрым дроблением начальной энергии.
Оценить толщину защиты из алюминия от потока -частиц, имеющих в воздухе пробег см.
мкм.
Радиоактивный препарат , испускающий -частицы с энергией МэВ, электролитически наносят на толстую металлическую подложку. При какой минимальной толщине слоя дальнейшее добавление не приведет к увеличению интенсивности -частиц, испускаемых этим препаратом?
мг/см.
Пробег -частиц в воздухе при нормальных условиях равен см. Вычислить пробег этих частиц в аргоне при МПа.
см.
Источник -частиц нанесен в виде пятна диаметром см в центре одного из электродов плоской ионизационной камеры. Диаметр электродов см, расстояние между ними см. Вычислить давление аргона в камере, при котором -частицы будут терять всю энергию в газе камеры.
Давление в камере должно быть равным или превосходить МПа.
Найти кинетическую энергию -частиц, средний пробег которых в железе равен мкм.
МэВ.
Определить пробег -частицы в свинце, если известно, что ее энергия соответствует пробегу мкм в алюминии.
мкм.
Вычислить пробег -частиц с энергией МэВ в германии, если известными считаются константы в соотношении пробег-энергия для -частиц в кремнии: , где , , причем измеряется в мкм, а – в МэВ.
мкм.
Принимая во внимание общее соотношение для пробега быстрой тяжелой заряженной частицы с зарядовым числом и массой : , где функция начальной скорости частицы определяется только свойствами тормозящего вещества, получите выражение, связывающее пробеги различных частиц в одном и том же веществе, если заданными считаются их кинетические энергии. Используя полученное соотношение, рассчитайте пробеги протонов с энергиями кэВ, МэВ и МэВ в воде по известным (из справочников, баз данных) пробегам -частиц. Проведите сравнение расчетных значений со справочными.
. При учете дефицита пробега . Физические величины с одинаковым индексом относятся к определенной частице.
, где 
– пробег частицы с зарядом 
и массой 
, а 
– пробег частицы с зарядом 
и массой 
.
, где 
– масса электрона, 
– Лоренц-фактор.
, где 
, 
– зарядовое число и масса падающей частицы, 
– ее кинетическая энергия при влете в вещество; 
– концентрация электронов в среде. В наиболее простом случае коэффициент торможения, соответствующий формуле Бете, 
рассчитывается для 
: квадрат отношения скорости налетающей частицы к скорости света 
, произведение 
на квадрат Лоренц-фактора 
, максимальная энергия, переданная частицей в одном столкновении со свободным электроном среды, 
(
), 
– средний ионизационный потенциал атомов среды, 
– поправка на эффект плотности.
) пробег 
, где 
. В ультрарелятивистском пределе (
) пробег 
, где 
с 
.
и полагая 
рассчитать пробег дейтронов с энергией 
МэВ в графите.
см.
-мезонов с энергией 
ГэВ в аэрогеле диоксида кремния.
г/см
.
и 
в одной и той же среде. Рассмотреть также нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы полученного соотношения.
, где 
и 
– пробеги частицы с начальными энергиями 
, а в ультрарелятивистском – 
.
МэВ; б) 
; б) 
.
-частицы с энергией 
с энергией 
ГэВ.
. Здесь 
, 
– зарядовое число и масса протона (
, где 
.
. Зарядовое число и масса изотопа 
, где 
, а 
. Коэффициент торможения ядер 
.
.
. В нерелятивистском случае отношение пробегов, таким образом, равно обратному отношению масс частиц и квадратов их зарядовых чисел. В ультрарелятивистском пределе отношение пробегов определяется только квадратом обратного отношения зарядов частиц.
с начальной энергией 
; б) 
.
, может быть заметно улучшена, если воспользоваться следующим приближенным вычислением интеграла вида 
, где функции 
сильно, а 
слабо зависят от своего аргумента: 
, значение 
определяется из условия 
.
, где 
, где 
в точке а) 
, где 
, 
– начальная энергия частицы в единицах ее энергии покоя 
: 
(см. предыдущую задачу). Сравнить полученные значения с табличными данными по пробегам протонов.
см; б) 
см.
ГэВ в воздухе. Протон ускоряется на ускорителе и движется в воздухе горизонтально. 
км.
ГэВ) останавливают в твердом грунте. Какие размеры по пучку должна иметь насыпь из грунта, если считать, что протоны взаимодействуют только электромагнитным образом? Каковы причины того, что реально используемая длина поглотителя меньше полученного значения?
может быть рассчитан с помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь. С хорошей степенью точности для многокомпонентного вещества
– постоянная тонкой структуры, 
– переходная константа, 
– число Авогадро, 
– плотность среды, 
– усредненное по массовым долям компонентов вещества отношение зарядового числа и атомной массы. Кулоновский логарифм 
, где 
, при этом отношение скорости частицы к скорости света 
и Лоренц-фактор 
соответствуют кинетической энергии 
. Поправка на эффект плотности для протонов с энергией 
ГэВ может быть рассчитана по формуле: 
, где 
– плазменная частота колебаний.
см
м.
– удельные ионизационные потери энергии частиц с начальной энергией 
– удельные ионизационные потери в минимуме ионизации. 
имеет локальный минимум, варьируется в пределах 
ГэВ (она слабо зависит от свойств среды). Соответствующие этим энергиям остаточные массовые пробеги 
г/см
удельные потери равны средним удельным потерям в области от 
. Поскольку минимальное значение удельной тормозной способности также слабо зависит от свойств среды и для протонов находится в диапазоне от 
МэВ/г
см
, 
г/см
ГэВ, для расчета пробега можно использовать приведенную выше формулу.
МэВ/см. 
. Соответствующая этому значению энергия протонов равна 
ГэВ. Минимальное значение удельных ионизационных потерь получается равным 
МэВ/см. Искомый пробег, таким образом, равен 
см=
м.
см.
мкм.
, испускающий 
МэВ, электролитически наносят на толстую металлическую подложку. При какой минимальной толщине слоя дальнейшее добавление 
мг/см
в воздухе при нормальных условиях равен 
см. Вычислить пробег этих частиц в аргоне при 
МПа.
см.
см, расстояние между ними 
см. Вычислить давление аргона в камере, при котором 
МПа.
мкм.
мкм в алюминии.
мкм.
МэВ в германии, если известными считаются константы в соотношении пробег-энергия для 
, где 
, 
, причем 
измеряется в мкм, а 
, где функция начальной скорости частицы 
определяется только свойствами тормозящего вещества, получите выражение, связывающее пробеги различных частиц в одном и том же веществе, если заданными считаются их кинетические энергии. Используя полученное соотношение, рассчитайте пробеги протонов с энергиями 
. При учете дефицита пробега 
. Физические величины с одинаковым индексом относятся к определенной частице.
