Задача 4. Энергия протонов в ускорителе равна МэВ. Оценить толщину поглотителя из углерода, необходимую для снижения энергии частиц пучка до МэВ.

Решение. При прохождении быстрых заряженных частиц через вещество наряду с систематическими потерями энергии в соответствие с тормозной способностью вещества возникают флуктуации энергетических потерь, вызванные статистическим характером неупругих столкновений с атомами среды и разбросом длин путей при многократном упругом кулоновском рассеянии. Как следствие, на некоторой глубине вещества даже параллельный моноэнергетический пучок характеризуется некоторым энергетическим распределением, отличным от -функции. В тонких слоях вещества () влияние упругого рассеяния на флуктуации энергии быстрых тяжелых частиц пренебрежимо мало, и энергетический спектр полностью определяется статистическим характером передачи энергии в ионизационных столкновениях. На глубинах, когда распределение частиц формируется только за счет большого числа столкновений с небольшими потерями энергии в каждом из них¹ и полные потери энергии невелики, энергетический спектр первоначально параллельного моноэнергетического пучка описывается гауссовой функцией. Имея малую дисперсию, спектр характеризуется достаточно резким максимумом вблизи наиболее вероятного (или среднего) значения, совпадающего с энергией в приближении непрерывного замедления. В пренебрежении вкладом упругих рассеяний (что вполне допустимо для достаточно тяжелых частиц и сред с не слишком большим ) даже на значительных глубинах энергетический спектр сохраняет описанные выше особенности, но уже не описывается гауссовой кривой. При этом наиболее вероятное значение энергии не совпадает с результатом приближения непрерывного замедления. Тем не менее, для проведения приближенных расчетов и оценок вполне допустимо считать, что почти на всем пробеге частицы распределение по энергии первоначально параллельного моноэнергетического пучка имеет гауссов вид с наиболее вероятным значением, соответствующим приближению непрерывного замедления.

Принимая, что энергетический спектр частиц, движущихся в веществе, формируется только за счет ионизационного торможения и флуктуаций энергетических потерь в неупругих столкновениях, наиболее вероятное значение энергии частиц пучка на некоторой глубине вещества будем отождествлять с тем достоверным значением, которое дает приближение непрерывного замедления (поэтому далее наиболее вероятную или среднюю энергию частиц будем называть просто энергией). То есть, для связи начальной энергии частиц и их энергии на некоторой глубине вещества будем использовать следующую общую формулу:

где – удельные ионизационные потери энергии.

Если при прохождении заданной толщины мишени частицы можно считать быстрыми, удельные ионизационные потери описываются простой формулой Бете (в зависимости от энергии частиц – с учетом или без учета эффекта плотности).

Для расчета толщины углеродной мишени, при прохождении которой энергия протонов изменяется в указанных в условии задачи пределах, допустимо использование формулы Бете в нерелятивистском пределе:

где – элементарный заряд, и – массы электрона и протона соответственно, – средний ионизационный потенциал атомов углерода, – концентрация электронов в графите, – его плотность, и – порядковый номер и молярная масса углерода, – число Авогадро.

Поскольку выполнить интегрирование в формуле для расчета в элементарных функциях не представляется возможным, воспользуемся тем обстоятельством, что логарифм – слабо меняющаяся функция своего аргумента. Вынося функцию из-под знака интеграла, при этом взяв ее значение в одной из точек – или , и далее проводя простое интегрирование, для искомой толщины поглотителя получим

или в более удобной для численных расчетов форме:

где – постоянная тонкой структуры, переходная константа МэВсм.

Подставляя численные значения необходимых физических величин, имеем

Таким образом, толщину углеродной пластинки нужно взять, по крайней мере, не больше см.

Общее уравнение, связывающее энергии частиц при влете в вещество и на некоторой его глубине, может быть записано через соответствующие пробеги частиц:

Расчеты или энергий частиц, таким образом, можно проводить с помощью более компактной формулы, предварительно вычислив пробег при заданной энергии (или воспользовавшись готовыми расчетными данными баз данных для пробегов).

Так, для протонов рассматриваемого в задаче энергетического диапазона самым простым вариантом решения является расчет пробегов с использованием эмпирических формул.

Для получения связи пробегов протонов в углероде и воздухе следует воспользоваться общим выражением, связывающим массовые пробеги частиц в сложном веществе и в его чистых компонентах, (7.11), а также соотношением массовых пробегов частиц в двух различных однокомпонентных средах (7.10). Для нашего случая эти формулы следует записать так:

Индекс обозначает ту или иную элементную составляющую воздуха – углерод, азот, кислород или аргон, т.е. . В качестве , и обозначены массовые пробеги протонов в углероде, воздухе и чистом веществе, образованном -ым элементом, соответственно. Атомные массы углерода и -го элемента обозначены как и . Правая часть первой формулы представляет собой взвешенную сумму обратных массовых пробегов по всем компонентам воздуха, где весовые коэффициенты – массовые доли этих компонентов.

В итоге, массовый пробег протонов в углероде выражается через массовый пробег в воздухе посредством равенства:

Полученное соотношение можно представить в форме, аналогичной эмпирической формуле для расчёта пробега -частиц в некотором веществе через их пробег в воздухе (7.12). Рассчитав

запишем

Заменяя атомную массу углерода на атомную массу любого другого элемента, последнее выражение естественным образом обобщается на случай прохождения протонов через произвольное вещество.

Если же ввести величину , которая имеет смысл некой эффективной атомной массы воздуха, связь между массовыми пробегами протонов в углероде и воздухе может быть переписана и в такой компактной форме:

На основании полученных результатов и представленной записи можно сделать обобщение соотношения для пробегов частиц в однокомпонентных средах (7.10) на среды произвольного состава:

В качестве и обозначены атомные массы элементов чистых веществ либо же эффективные атомные массы сред сложного атомно-молекулярного состава, определяемые через взвешенную сумму обратных кубических корней атомных масс составляющих следующим образом: , где – массовая доля элемента с атомной массой .

Для воздуха ².

Воспользовавшись эмпирическим соотношением пробег-энергия для протонов в воздухе (7.8) и приведёнными выше формулами, связывающими пробеги в углероде и воздухе, легко вычислить разность пробегов протонов в углероде при энергиях и МэВ, что и дает искомую толщину углеродной мишени:

Ответ. Углеродный поглотитель должен иметь толщину см.

>>Задачи (1 часть)

Примеры решения задач. Задача 3 <<

1. Это условие выполняется тогда, когда накопленный разброс частиц по энергии превышает максимальную энергию, теряемую в единичном столкновении с атомом среды. Если при этом потери энергии при прохождении некоторого слоя вещества толщины малы, математическим выражением рассматриваемого требования будет запись

   
   

   Здесь – заряд падающей частицы ( – элементарный заряд), – скорость частицы по отношению к скорости света, – масса электрона, – концентрация электронов среды, – максимальная энергия, переданная падающей частицей с массой свободному электрону среды ($\gamma\) – Лоренц-фактор). Для нерелятивистских протонов и легких ионов неравенство начинает выполняться на глубинах, сравнимых с десятыми долями полного пробега частиц.
2. Можно заметить, что полученное значение почти совпадает с усредненной по элементному составу воздуха величиной . Для любой другой среды эффективная и средняя атомные массы не так близки по значениям, однако подстановка в формулу для соотношения пробегов величины вместо не приводит к значительным ошибкам в конечном результате (как правило, сохраняется точность до одной или двух значащих цифр). В связи с этим, в некоторых работах используется упрощенный подход с подстановкой в упомянутую формулу именно средней атомной массы для сложного вещества.