-Частица с кинетической энергией МэВ пролетела мимо покоившегося свободного электрона с прицельным параметром см. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, полагая, что траектория -частицы прямолинейная и за время пролета электрон остается неподвижным.
Импульс, переданный свободной, покоящейся до рассеяния частице с зарядом пролетающей частицей с зарядом на всем пути ее следования, может быть вычислен по формуле
где – напряженность электростатического поля, создаваемого падающей частицей в данный момент времени в точке расположения заряда . Радиус-вектор отсчитывается от положения движущегося заряда и соединяет точки расположения двух частиц в данный момент времени. Момент времени выбран так, чтобы соответствовать моменту максимального сближения частиц в отсутствие взаимодействия.
В пренебрежении искривлением траектории налетающей частицы и смещением положения первоначально покоящейся (приближение быстрого пролета) радиус-вектор в любой момент времени совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого определяется вектором прицельного расстояния , а другой катет соединяет начала векторов и вдоль прямолинейной траетории движущейся частицы.
В рамках приближения быстрого пролета для отыскания можно пренебречь изменением скорости пролетающего заряда. Поэтому
где – прицельный параметр, а – скорость частицы.
Вектор удобно разложить на продольную (вдоль вектора ) и поперечную (вдоль вектора ) составляющие:
где , .
Отличный от нуля вклад в величину переданного импульса дает только поперечная составляющая
Кинетическая энергия, приобретаемая зарядом , таким образом, равна
где – кинетическая энергия налетающей частицы.
Энергия отдачи электрона при столкновении с ним -частицы
Быстрая -частица проходит со скоростью через среду, содержащую электронов в см. В рамках приближения быстрого пролета определить энергию, теряемую -частицей на единице пути в результате взаимодействия с электронами, относительно которых ее прицельный параметр заключен в интервале .
Взаимодействие быстрой заряженной частицы с электронами среды может быть описано как взаимодействие со свободными первоначально покоящимися частицами. Приближение же быстрого пролета в рамках формализма независимых парных столкновений позволяет пренебречь искривлением траектории падающей частицы и смещением положения каждого электрона при упругом рассеянии на нем. Тогда потеря энергии движущейся со скоростью частицы с зарядовым числом при ее упругом рассеянии с прицельным расстоянием на свободном покоящемся электроне определяется следующим выражением (см. предыдущую задачу)
где – масса электрона. Потерю энергии пролетающей частицы в одном столкновении мы определили как разность ее кинетической энергии после и до рассеяния.
В рамках предположения о статистической независимости отдельных парных столкновений полная величина энергетических потерь при прохождении частицей некоторого слоя вещества есть просто сумма потерь по отдельным столкновениям со всеми электронами этого слоя.
Выбирая произвольные приращения прицельного параметра (относительно некоторого значения ) и толщины слоя вещества вдоль прямолинейной траектории налетающей частицы с заданной скоростью, главная линейная относительно произведения указанных приращений часть полной потери энергии пролетающей через рассматриваемый объем вещества частицы
Тогда удельные потери энергии в результате взаимодействия с электронами слоя составят
Для быстрой -частицы потери энергии на единице пути оказываются равными
Протон с кинетической энергией МэВ налетает на первоначально покоящийся электрон с прицельным расстоянием см. Найти переданную электрону кинетическую энергию.
Угол рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием в их системе центра масс однозначно определяется прицельным расстоянием :
где и – электрические заряды частиц, – кинетическая энергия относительного движения частиц до рассеяния (она же есть суммарная кинетическая энергия частиц в их системе центра масс до рассеяния).
В случае рассеяния одной частицы на другой покоящейся
где – кинетическая энергия налетающей частицы с зарядом в лабораторной системе отсчета, – масса этой частицы, а – масса первоначально покоящейся частицы с зарядом .
Величину переданного рассеивателю импульса как функцию угла рассеяния частиц в их системе центра масс легко найти с помощью импульсной диаграммы рассеяния. Соответствующая кинетическая энергия определяется равенством
Представляя квадрат синуса половинного угла через квадрат тангеса половинного угла, искомая величина как функция прицельного расстояния получается равной
или
Энергия, переданная протоном свободному электрону, таким образом, равна
Для данных условия задачи она составляет кэВ.
Быстрая нерелятивистская тяжелая заряженная частица с массой и зарядом ( – элементарный заряд) проходит со скоростью через однородную среду, концентрация электронов которой равна . Определить удельные потери энергии пролетающей частицы при ее рассеянии на свободных атомных частицах среды, относительно которых прицельный параметр заключен в интервале . Найти также полные удельные потери.
Формализм независимых парных столкновений позволяет представить полную величину энергетических потерь проходящей через вещество частицы как сумму потерь энергии по отдельным парным столкновениям с атомными частицами среды. Последние, в свою очередь, в случае налетающей быстрой частицы могут рассматриваться как свободные и первоначально покоящиеся.
Энергия, переданная частице среды с зарядом и массой при упругом кулоновском рассеянии на ней с начальной скоростью и прицельным расстоянием , составляет (см. предыдущую задачу)
где – приведенная масса взаимодействующих частиц.
Потери энергии частицы при прохождении с заданной скоростью слоя вещества толщиной вдоль направления падения и ограниченного прямым кольцевым цилиндром с внутренним и внешним радиусами, равными соответственно и (ось цилиндра совпадает с траекторией движения частицы), представляются суммой потерь от рассеяния на каждой частице указанного объема. Основной вклад при этом определяется рассеянием именно на электронах (см. зависимость правой части последнего равенства от ). Поэтому
где – масса электрона, а приведенная масса .
Удельные потери энергии при прохождении рассматриваемого кольцевого цилиндра, таким образом, равны
Для отыскания полных удельных потерь правую часть последнего равенства необходимо проинтегрировать по всем возможным значениям прицельного параметра:
Интеграл расходится на больших прицельных расстояниях. Физически это обусловлено тем, что для таких прицельных параметров взаимодействие, связывающее электроны в атомы, сильнее, чем их взаимодействие с падающей частицей. Поэтому электроны нельзя рассматривать как свободные. Для корректного рассмотрения задачи, таким образом, верхний предел интегрирования следует ограничить некоторым . В итоге получим
Заметим, что, в отличие от приближения быстрого пролета, классическая теория кулоновского рассеяния дает выражение для удельных потерь энергии быстрой частицы, неопределенной величиной в котором является только максимальное прицельное расстояние.
Величина переданного свободному электрону импульса как функция прицельного расстояния
Сопоставляя минимальный переданный импульс , выражение для удельных потерь перепишется в виде
где .
Записанное через выражение для удельных потерь в точности совпадает с выражением для тормозной способности вещества,
полученным в рамках более общего подхода при описании рассеяния тяжелой нерелятивистской заряженной частицы на свободных, первоначально покоящихся атомных частицах среды (применимого и в случае квантово-механического рассмотрения движения частиц), а именно с помощью резерфордовского сечения кулоновского рассеяния на свободных электронах (см. Задача 1 в Примерах решения задач).
Рассматривая рассеяние быстрой заряженной частицы на атоме как упругое рассеяние на свободном первоначально покоящемся электроне, определить максимальную энергию, переданную падающей частицей с энергией электрону. Показать, что в случае тяжелой частицы не слишком высокой энергии найденная величина много меньше .
Максимально возможная переданная энергия
, где и – массы налетающей частицы и электрона соответственно. В компактной записи , где – отношение скорости частицы к скорости света, – Лоренц-фактор. Выраженные через кинетическую энергию, , .
Для тяжелых частиц () нерелятивистских энергий, т.е. при (в этом случае , ), максимальная энергия .
Для релятивистского случая, когда , т.е. , , но ,
максимальная энергия .
В ультрарелятивистском случае, когда или , .
Вычислить удельные ионизационные потери энергии дейтрона с энергией МэВ в азоте при нормальных условиях.
МэВ/см.
Сравнить удельные ионизационные потери энергии -частиц полония ( МэВ) при прохождении через алюминий и свинец.
Удельные ионизационные потери энергии -частиц в свинце превышают удельные потери в алюминии в раза.
Строго говоря, применение формулы Бете для расчета удельных ионизационных потерь энергии -частиц естественных радиоизлучателей в тяжелых средах некорректно (при взаимодействии с атомами свинца -частицы считаются быстрыми, когда их кинетическая энергия превышает несколько десятков МэВ). В нашем случае , поэтому для более точных расчетов достаточно использовать поправочные слагаемые в коэффициент торможения, соответствующий формуле Бете (оболочечная поправка, поправки Блоха и Баркаса). Как правило, суммарная относительная величина этих поправок не превышает пару-тройку десятков процентов вплоть до энергий в несколько сотен кэВ. По этой причине, если не требуется высокая точность, использование простой формулы Бете для расчета удельных ионизационных потерь для частиц не слишком низких энергий остается допустимым.
Так, расчеты тормозных способностей и для -частиц рассматриваемой энергии, выполненные с использованием базы данных NIST ASTAR и метода линейной интерполяции, дают искомое отношение, равное .
Протон с кинетической энергией МэВ проходит через ионизационную камеру, наполненную газом при C и мм рт. ст. Для какого из двух газов – неона или азота – удельная ионизация будет большей?
Удельная ионизация для азота составит кэВ/см, что в раза больше удельной ионизации для неона.
Сравнить удельные потери энергии на ионизацию для -частицы полония и для дейтрона той же энергии при прохождении через алюминий.
Удельные потери энергии на ионизацию для -частиц в раза больше, чем для дейтронов.
Найти отношение удельных ионизационных потерь: а) -частицы и протона с энергией МэВ в неоне; б) -частицы с энергией МэВ в меди и алюминии.
-Частица с кинетической энергией 
МэВ пролетела мимо покоившегося свободного электрона с прицельным параметром 
см. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, полагая, что траектория 
пролетающей частицей с зарядом 
на всем пути ее следования, может быть вычислен по формуле
– напряженность электростатического поля, создаваемого падающей частицей в данный момент времени 
в точке расположения заряда 
отсчитывается от положения движущегося заряда 
выбран так, чтобы соответствовать моменту максимального сближения частиц в отсутствие взаимодействия.
совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого определяется вектором прицельного расстояния 
, а другой катет соединяет начала векторов 
можно пренебречь изменением скорости пролетающего заряда. Поэтому
– прицельный параметр, а 
– скорость частицы.
) и поперечную (вдоль вектора 
, 
.
электронов в 
см
. В рамках приближения быстрого пролета определить энергию, теряемую 
.
при ее упругом рассеянии с прицельным расстоянием 
– масса электрона. Потерю энергии пролетающей частицы в одном столкновении мы определили как разность ее кинетической энергии после и до рассеяния.
(относительно некоторого значения 
вдоль прямолинейной траектории налетающей частицы с заданной скоростью, главная линейная относительно произведения указанных приращений часть полной потери энергии пролетающей через рассматриваемый объем вещества частицы
МэВ налетает на первоначально покоящийся электрон с прицельным расстоянием 
см. Найти переданную электрону кинетическую энергию.
однозначно определяется прицельным расстоянием 
– кинетическая энергия относительного движения частиц до рассеяния (она же есть суммарная кинетическая энергия частиц в их системе центра масс до рассеяния).
– масса этой частицы, а 
– масса первоначально покоящейся частицы с зарядом 
кэВ.
и зарядом 
(
– элементарный заряд) проходит со скоростью 
и массой 
– приведенная масса взаимодействующих частиц.
вдоль направления падения и ограниченного прямым кольцевым цилиндром с внутренним и внешним радиусами, равными соответственно 
(ось цилиндра совпадает с траекторией движения частицы), представляются суммой потерь от рассеяния на каждой частице указанного объема. Основной вклад при этом определяется рассеянием именно на электронах (см. зависимость правой части последнего равенства от 
.
. В итоге получим
, выражение для удельных потерь перепишется в виде
.
, где 
, где 
– отношение скорости частицы к скорости света, 
– Лоренц-фактор. Выраженные через кинетическую энергию, 
, 
.
) нерелятивистских энергий, т.е. при 
(в этом случае 
, 
), максимальная энергия 
.
, т.е. 
, 
, но 
,
максимальная энергия 
.
или 
, 
.
МэВ в азоте при нормальных условиях.
МэВ/см.
МэВ) при прохождении через алюминий и свинец.
раза.
, поэтому для более точных расчетов достаточно использовать поправочные слагаемые в коэффициент торможения, соответствующий формуле Бете (оболочечная поправка, поправки Блоха и Баркаса). Как правило, суммарная относительная величина этих поправок не превышает пару-тройку десятков процентов вплоть до энергий в несколько сотен кэВ. По этой причине, если не требуется высокая точность, использование простой формулы Бете для расчета удельных ионизационных потерь для частиц не слишком низких энергий остается допустимым.
и 
для 
.
МэВ проходит через ионизационную камеру, наполненную газом при 
C и 
мм рт. ст. Для какого из двух газов – неона или азота – удельная ионизация будет большей?
кэВ/см, что в 
раза больше, чем для дейтронов.
МэВ в неоне; б) 
МэВ в меди и алюминии.
; б) 
.
