Задача 2. Определить долю нейтронов, испытавших однократное упругое столкновение на ядрах с массовым числом и вылетевших под углами , если рассеяние в ц-системе изотропно. Найти также среднее значение косинуса угла рассеяния нейтронов.

Решение. Изотропность рассеяния частиц в системе центра масс означает, что доля рассеянных частиц в элемент телесного угла зависит от его величины, но не от направления, относительно которого он отсчитывается. То есть,

С учетом условия нормировки вероятность частице рассеяться в элементарный телесный угол получается равной

Вероятность же частицам обоих сортов рассеяться на углы равна

Эта вероятность позволяет получить функцию распределения частиц по их углам рассеяния в системе центра масс, которая есть плотность вероятности рассеяния частицы в ц-системе на угол :

С помощью этого распределения можно находить средние значения любых физических величин, функции от для которых известны. Для нахождения же распределений рассеянных частиц по этим величинам следует исходить из выражения для , рассматривая переменную как функцию от интересующей нас физической величины и выделяя дифференциал последней1. Например для нахождения вероятности рассеяния нейтрона в лабораторной системе отсчета в интервал углов переменную в следует заменить функцией :

Непосредственного вычисления дифференциала функции можно избежать, заметив, что . Это значительно упрощает нахождение явного вида вероятности и соответственно функции распределения нейтронов по их углам рассеяния в лабораторной системе отсчета. Последнее равенство также позволяет без особых трудностей найти относительное число нейтронов, рассеянных в некоторый произвольный интервал углов. Эта доля

Явный вид функции следующий (его легко найти с помощью импульсной диаграммы):

Поэтому

Для и искомая доля нейтронов составит

2

Полученный результат показывает, что в лабораторной системе отсчета нейтроны преимущественно вылетают в переднюю полусферу относительно направления их первоначального падения. Для ядер , например, . С ростом количество нейтронов, рассеянных в переднюю и заднюю полусферы, ожидаемо, сравнивается.

Средний косинус угла рассеяния нейтронов в л-системе можно найти с помощью известной функции распределения :

Явный вид функции от также нетрудно найти с помощью импульсной диаграммы. После подстановки этой функции в последнее подынтегральное выражение приходим к необходимости вычисления следующего определенного интеграла:

В результате получим

Средний косинус угла рассеяния нейтронов в лабораторной системе отсчета не равен нулю, как это имеет место в системе центра масс (проверьте). Это означает, что в л-системе рассеяние не изотропно. В правильности этого утверждения мы убедились выше, рассчитав долю рассеянных нейтронов в заднюю полусферу. Его также можно проверить непосредственным вычислением вероятности и последующим выделением элементарного телесного угла .

Ответ. Доля нейтронов, упруго рассеянных на углы , составляет . Среднее значение косинуса угла рассеяния нейтронов в л-системе равно .

>>Примеры решения задач. Задача 3

Примеры решения задач. Задача 1 <<

1. Если рассматриваемая зависимость является двузначной, описанную процедуру следует произвести для каждой однозначной ветви функции и сложить модули полученных результатов.
2. Для получения предполагалось, что . В случае, когда возможные углы вылета нейтронов не превышают , поэтому для расчета подставлять граничные значения интервала в общую формулу для , вообще говоря, нельзя. Однако полученная формула для формально содержит в себе случай . Действительно, подставив , получим .