Задача 3. Найти дифференциальное сечение рассеяния протонов с энергией кулоновским полем первоначально покоившихся ядер в лабораторной системе отсчета.

Решение. Угол рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием в системе центра масс как функция их прицельного расстояния позволяет получить зависимость прицельного расстояния от угла рассеяния частиц в ц-системе, подстановка которой в общее выражение для дифференциального сечения рассеяния частиц и дает нам явное выражение для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния заряженных частиц в их системе центра масс. Для протона и некоторого ядра с зарядовым числом дифференциальное сечение получается в виде

где – элементарный заряд, – полная энергия частиц в ц-системе, – угол рассеяния частиц в системе центра масс. Полная энергия частиц в системе центра масс есть суммарная кинетическая энергия частиц в этой же системе отсчета до их рассеяния. В случае первоначально покоящегося ядра в лабораторной системе отсчета , где – отношение массы протона к массе ядра мишени.

Рассмотрим элементарный телесный угол как телесный угол, ограниченный поверхностями прямых конусов, оси которых параллельны направлению движения частиц пучка в ц-системе до рассеяния, вершины совпадают с началом ц-системы, а углы растворов равны и . Тогда дифференциальное сечение представим в виде

Дифференциальное сечение рассеяния протонов в лабораторной системе отсчета получим как результат подстановки с последующим выделением дифференциала угла рассеяния протонов в лабораторной системе отсчета и соответственно элементарного телесного угла .

Нахождение как функции угла нетрудно осуществить с помощью импульсной диаграммы рассеяния протона ядром. Для искомая зависимость принимает вид . Дифференцируя по переменной , немедленно получаем

В случае, если масса ядер мишени много больше массы протонов, можно принять, что дифференциальное сечение рассеяния протонов есть предельное значение при :

Обобщая последнюю формулу на произвольные заряженные частицы (или ядра) пучка с массой, много меньшей массы рассеивателей, получаем формулу Резерфорда:

где и – электрические заряды падающей частицы и рассеивателя. Вывод этой формулы и ее сопоставление с экспериментом по рассеянию -частиц естественных альфа-излучателей на ядрах тяжелых элементов явились в свое время ключом к открытию структуры атома.

Ответ. Дифференциальное сечение рассеяния протонов кулоновским полем первоначально покоившихся ядер в лабораторной системе отсчета

где – зарядовое число ядер мишени, – отношение массы протона к массе ядра мишени, – угол рассеяния протонов в лабораторной системе отсчета.

>>Примеры решения задач. Задача 4

Примеры решения задач. Задача 2 <<