Напомним, что рассеянием называется процесс, когда две частицы, в начальный момент времени находящиеся достаточно далеко друг от друга, с течением времени сближаются и в результате взаимодействия могут снова удалиться на достаточно большое относительное расстояние.

В задаче о рассеянии двух частиц по данным импульсам частиц до рассеяния , требуется найти импульсы частиц после рассеяния , , когда частицы разлетаются на бесконечно удаленное расстояние друг от друга. Указанная задача является частным случаем задачи двух тел, когда интересуются только импульсами частиц и только после рассеяния.

Решение указанной задачи можно получить зная массы частиц и , потенциальную энергию их взаимодействия , импульсы частиц до рассеяния , относительно некоторой инерциальной системы отсчета (лабораторной системы отсчета или л-системы), угол, определяющий ориентацию плоскости движения частиц относительно системы центра масс (ц-системы), а также прицельное расстояние – минимальное расстояние между частицами, на котором они пролетели бы в отсутствие взаимодействия, или расстояние между асимптотами траекторий частиц относительно ц-системы, по которым частицы движутся до рассеяния.

В системе центра масс импульсы частиц равны друг другу по величине и противоположны по направлению в любой момент времени, а рассеяние сводится к повороту этих векторов в плоскости движения частиц, оставляя неизменными их по величине (следствие закона сохранения энергии)¹.

Угол рассеяния частиц в ц-системе, т.е. угол между импульсами частиц до и после рассеяния в системе центра масс (угол между векторами и , и ) можно найти из решения задачи двух тел.

Действительно, принимая во внимание тот факт, что в любой момент времени импульс -точки (импульс относительного движения частиц или просто относительный импульс частиц) равен импульсу первой частицы в системе центра масс (см. ), угол рассеяния частиц в ц-системе равен углу рассеяния -точки в поле неподвижного силового центра. Последний есть

где – угол между асимптотой траектории -точки и осью симметрии, соединяющей перигелий орбиты и центр поля (см. Рис. ).

Угол , в свою очередь, может быть найден из уравнения траектории -точки в центральном поле (третье равенство в ). В качестве пределов интегрирования в этом уравнении следует взять и , что соответствует перемещению частицы из перигелия на бесконечность.

Рис. 6.3 Траектории частиц с равными массами в системе центра масс и соответствующей им -точки в случае сил отталкивания. Координатная плоскость ц-системы совмещена с плоскостью движения частиц

Угол рассеяния частиц в системе центра масс, таким образом, равен

где наименьшее расстояние между частицами, , является корнем уравнения

²

Как сохраняющаяся величина, полная энергия частиц в ц-системе равна суммарной кинетической энергии частиц до рассеяния в этой же системе отсчета (так называемая кинетическая энергия относительного движения частиц до рассеяния или кратко относительная кинетическая энергия частиц), а потому может быть выражена через заданные импульсы частиц до рассеяния в л-системе.

Задача о рассеянии первой частицы на второй покоящейся решается наиболее просто, т.к. движение является плоским как относительно ц- так и относительно л-системы, причем плоскости в обеих системах отсчета совпадают.

Решение указанной задачи в лабораторной системе отсчета записывается в следующем виде:

где – единичный вектор, лежащий в плоскости движения частиц и направленный по импульсу первой частицы после рассеяния относительно системы центра масс ( по вектору ). Последнее слагаемое в каждом из векторных уравнений (6.7) появляется вследствие обратного перехода из ц- в л-систему.

Импульсы частиц после рассеяния являются одними и теми же функциями и при любом центральном взаимодействии частиц. С другой стороны, импульсы , как функции и прицельного расстояния будут различными для разных взаимодействий, т.к. зависимость от определяется видом потенциальной энергии. Например, для кулоновского взаимодействия вычисление интеграла (6.5) с учетом условия (6.6) дает следующую связь между и :

где , – заряды взаимодействующих частиц.

>>Поперечные сечения рассеяния

Классическая задача двух тел <<

1. Неизменность величин импульсов частиц при рассеянии была подробна показана в теоретической части Раздела III Рассеяние двух частиц. Импульсные диаграммы.
2. Для получения угла рассеяния частиц в приведенной форме величина относительного момента импульса частиц предварительно была выражена через величину относительного импульса частиц до рассеяния и прицельный параметр: (см. Рис. ).