1. Найти отношение удельных ионизационных потерь: а) -частицы и протона с энергией МэВ в неоне; б) -частицы с энергией МэВ в меди и алюминии.

   Ответ

   а) ; б) .

2. Покажите, что для заряженных частиц удельная тормозная способность сложного вещества представима в виде средневзвешенной суммы удельных тормозных способностей его чистых компонентов:

   
   

   где – массовая доля -ой составляющей в исходном соединении или смеси.

   Убедитесь, что приведенное представление эквивалентно записи формулы Бете для тормозной способности многокомпонентной среды в виде:

   
   

   где отношение , средняя энергия ионизации определяется равенством , а поправка на эффект плотности . Индекс "`"' маркирует характеристики, относящиеся к -му элементу среды.

   Ответ

   В рамках формализма независимых парных столкновений полные энергетические потери тяжелой заряженной частицы (не слишком высокой энергии) при ее движении через вещество представимы в виде суммы потерь по отдельным столкновениям.

   Удельные потери энергии частицы при столкновениях с атомами определенного сорта{\footnote{К атомам данного сорта мы относим атомы одного выбранного химического элемента.}} в самом общем виде могут быть записаны как

   
   

   Здесь – концентрация атомов -го сорта в рассматриваемой среде, – так называемое эффективное торможение – величина, определяющаяся единичным актом столкновения с атомом данного сорта: , где – потеря энергии частицы в одном столкновении с атомом, – дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц. В наиболее общем случае представляет собой сумму интегралов вида , где каждое слагаемое соответствует упругому рассеянию и неупругим процессам с возбуждением определенных уровней атома. При учете только ионизационных потерь энергии , где – зарядовое число падающей частицы, – ее скорость, – порядковый номер соответствующего выбранному типу атомов химического элемента, – коэффициент торможения на атомах данного сорта.

   Полные удельные потери энергии частицы в сложной среде есть просто сумма удельных потерь при рассеянии на атомах ее различных химических элементов:

   
   

   Концентрация атомов -го сорта в многокомпонентной среде с плотностью

   
   

   где – массовая доля -го компонента в среде, – молярная масса атомов соответствующего химического элемента.

   Удельная (массовая) тормозная способность вещества, таким образом, представима в виде:

   
   

   Поскольку тормозная способность однокомпонентной среды с атомами -го сорта

   
   

   где – плотность такой среды (концентрация атомов в этой чистой (простой) среде равна ), удельную тормозную способность сложного вещества можно переписать в виде:

   
   

   Удельная тормозная способность -го компонента может также обозначаться единым символом . Тогда запись удельной тормозной способности сложного вещества через взвешенную по массовым долям сумму удельных тормозных способностей его компонентов может выглядеть следующим образом:

   
   

   Полученное соотношение называется правилом аддитивности Брэгга-Климена (краткое и наиболее часто встречающееся название – правило аддитивности Брегга, в англоязычном варианте – Bragg's additivity rule). Это правило хорошо согласуется с экспериментом для быстрых тяжелых заряженных частиц.

3. Вычислить удельные потери энергии мюонов с энергией МэВ в майларе .

   Ответ

   МэВ/см или МэВ/гсм.

4. Вычислить удельные ионизационные потери энергии -частицы с энергией МэВ в газообразном аргоне. Как изменятся удельные потери, когда частица потеряет своей энергии?

   Решение

   Альфа-частицы при движении в газообразном аргоне с кинетической энергией МэВ не могут быть отнесены к категории быстрых. Их скорость, равная см/с, сравнима со средней скоростью электронов атома аргона, составляющей см/с согласно модели Томаса-Ферми. В этой связи, строгий расчет удельных ионизационных потерь для рассматриваемого случая не может быть выполнен с использованием формулы Бете.

   Поскольку для -частиц энергии МэВ параметр , удельные потери удовлетворительно описываются модифицированной формулой Бете, включающей оболочечную поправку, поправки Блоха и Баркаса. Суммарная относительная величина этих поправок для не слишком низких энергий и легких сред составляет не более пары десятков процентов. Поэтому при отсутствии требований высокой точности расчётов использование простой формулы Бете в нашем случае представляется допустимым.

   При дальнейшем снижении энергии наряду с чистой ионизацией все большую роль в торможении частиц начинают играть процессы возбуждения атомов и перезарядки (к концу траектории увеличивается доля потерь энергии на чисто упругое рассеяние). Для торможение частиц все еще обусловлено неупругими процессами, однако не имеет удовлетворительного теоретического описания. Важно, что в указанной области тормозная способность как функция энергии носит немонотонный характер с выраженным максимумом.

   Для нахождения удельных ионизационных потерь -частиц с энергиями МэВ () и МэВ () в газообразном аргоне целесообразно использовать таблицы или специализированные базы данных, где представлены значения электронной части тормозной способности различных веществ для -частиц в широком энергетическом диапазоне. Определение при энергии, не входящей в дискретный набор табулированных значений, можно проводить простым методом линейной интерполяции.

   В случае использования базы данных NIST ASTAR линейные функции будут проходить через точки и для энергии МэВ и и для энергии МэВ (обратите внимание, что первая пара точек находится на убывающей части кривой, а вторая – на возрастающей).

   Общее уравнение интерполирующей функции на отрезке имеет вид:

   
   

   где и – значения электронной части тормозной способности вещества для энергий, соответствующих граничным точкам указанного отрезка.

   Удельные тормозные способности аргона для -частиц рассматриваемых энергий будут, таким образом, равны

   
   

   
   

   Соответствующие удельные потери составят МэВ/см и МэВ/см.

   На основании полученных значений можно заключить, что в ходе торможения, при котором -частица теряет \% своей первоначальной энергии, удельные ионизационные потери изменяются не монотонно, достигая, тем не менее, величины в раза большей, чем при влете в вещество.

   Использование формулы Бете для расчета удельных потерь приводит к небольшой ошибке для энергии МэВ и довольно заниженному результату для энергии МэВ: искомая величина получается равной МэВ/см и МэВ/см соответственно.

5. Рассчитайте отношение пробегов частиц, движущихся в бериллиевой мишени с одинаковыми начальными кинетическими энергиями:

   а) протоны и -частицы с энергией МэВ;

   б) протоны и полностью ионизированные атомы с энергией ГэВ.

   Сравните полученные значения с соответствующими отношениями пробегов, но при одинаковых начальных скоростях частиц.

   Ответ

   . Здесь , – зарядовое число и масса протона (-частицы) соответственно, коэффициент торможения протонов (-частиц) , где – масса электрона, – начальная кинетическая энергия падающих частиц.

   Отношение пробегов быстрых частиц при равных скоростях не зависит от значения скорости и характеристик вещества, а определяется только соотношением масс и зарядовых чисел частиц: .

   б) . Зарядовое число и масса изотопа помечены символом соответствующего химического элемента. Коэффициент торможения протонов , где , а . Коэффициент торможения ядер при заданной энергии может рассчитан в нерелятивистском пределе: .

   Отношение пробегов протона и ядра при равных начальных скоростях равно .

   Если вычисления не требуют высокой точности, можно считать, что пробеги двух частиц, движущихся в одной и той же среде с одинаковыми начальными энергиями, соотносятся как . В нерелятивистском случае отношение пробегов, таким образом, равно обратному отношению масс частиц и квадратов их зарядовых чисел. В ультрарелятивистском пределе отношение пробегов определяется только квадратом обратного отношения зарядов частиц.

6. Зависимость пробега заряженной частицы в веществе от ее скорости имеет следующий вид:

   
   

   где – масса частицы, – ее заряд (элементарный заряд принят за единицу), – скорость частицы, – масса электрона, – функция, не зависящая ни от заряда, ни от массы.

   а) Следы протонов, дейтронов и тритонов в эмульсии имеют на равных участках следа одинаковое число зерен. Как относятся между собой остаточные пробеги и энергии этих частиц?

   б) Известно соотношение пробег-энергия для протонов. Найти соотношение пробег-энергия для тритонов в том же веществе.

   в) Для протонов известна зависимость числа зерен (на участке ) от пробега и . Как определить энергию дейтронов и тритонов, следы которых не оканчиваются в эмульсии?

   Ответ

   а) Равенство плотности зерен свидетельствует о равенстве удельных потерь энергии быстрых тяжелых однозарядных частиц, а значит (в случае не очень высоких энергий) – и о равенстве скоростей частиц в начале рассматриваемых участков. Из последнего следует, что остаточные пробеги частиц соотносятся как их массы, то есть . Аналогичное соотношение выполняется и для кинетических энергий частиц.

   б) .

   в) Следует определить число зерен на таком же участке отрезка следа частицы, укладывающегося в эмульсии. Из зависимости определить пробег, а из зависимости – энергию протона, которому соответствует такая же плотность зерен. Поскольку удельные потери энергии однозарядных частиц одинаковы, одинаковыми будут и скорости частиц в начале рассматриваемого участка. Кинетические энергии будут пропорциональны массам частиц. Отсюда следует, что кинетические энергии дейтрона и тритона будут соответственно в и раза больше энергии протона.

7. Первая стенка вакуумной камеры термоядерного реактора с магнитным удержанием является энергонапряженным внутрикамерным компонентом установки. Поскольку стенка подвергается мощной бомбардировке ионами и нейтральными частицами, облучению быстрыми нейтронами и -квантами, а иногда и сгустками плазмы, внутренняя поверхность первой стенки покрывается специальными материалами. Эти материалы должны обладать высокой механической прочностью, хорошими теплопроводностью и электропроводностью, жаропрочностью и стойкостью к термоциклическим нагрузкам, радиационной стойкостью, но при этом гарантировать невозможность поступления высокозарядных ионов в плазму (которые приводят к ее охлаждению). В качестве облицовочного материала выбираются бериллий, графит, вольфрам, специальные виды керамики. Обычно толщина облицовки варьируется в пределах мм в зависимости от облицовочного материала и условий работы установки. Например, конструктивно панели первой стенки экспериментального термоядерного реактора ITER представляют собой плоскую коробчатую конструкцию из нержавеющей стали с полостями внутри для протекания теплоносителя. На сталь наварен медный лист, к которому припаена передняя берилливая / вольфрамовая поверхность толщиной порядка мм.

   Оценить максимальную глубину проникновения ионов реакций дейтерий-тритиего цикла

   
   

   в бериллии и вольфраме при умеренных температурах плазмы ( кэВ).

   Ответ

   Наибольшей проникающей способностью обладают легкие ионы с малым зарядом и наибольшей кинетической энергией. Максимальную глубину проникновения, таким образом, можно оценить по расчету пробега протонов реакции . Пробеги протонов с энергией МэВ в бериллии и вольфраме могут быть рассчитаны с использованием эмпирической формулы для расчета пробега протонов той же энергии в воздухе.

   Связь массового пробега протонов в некотором однокомпонентном веществе с их массовым пробегом в воздухе дается следующим общим соотношением: , где – атомная масса элементов рассматриваемой среды, – атомная масса -ой компоненты воздуха, – массовая доля этой компоненты. Суммирование производится по всем составляющим воздух элементам, т.е. . Соотношение пробег-энергия протонов для воздуха см, где кинетическая энергия подставляется в МэВ.

   Пробег протонов в бериллии составляет мм, в вольфраме – мм.

8. Ионизирующие частицы, проходя через фотоэмульсию, воздействуют на кристаллы бромистого серебра таким образом, что после проявления они образуют ряд черных зерен галоидного серебра, расположенных вдоль следа частицы. Плотность зерен зависит от типа эмульсии, способа проявления и возрастает с увеличением удельных потерь энергии ионизирующей частицы.

   а) Как определить направление движения нерелятивистской частицы по ее следу в эмульсии?

   б) Протоны, дейтроны и -частицы имеют в эмульсии одинаковый пробег мкм. Как относятся их удельные потери энергии в начале пробега?

   Сравнить полученные результаты с отношением удельных потерь, рассчитаным с использованием приближенной формулы для тормозной способности , где – заряд падающей частицы ( – элементарный заряд), – ее скорость, – масса электрона, – концентрация электронов среды.

   Ответ

   а) С уменьшением скорости нерелятивистской быстрой заряженной частицы возрастают ее ионизационные потери. Следовательно, число зерен на единицу длины следа увеличивается в направлении движения частицы.

   б) Пробег -частиц в фотоэмульсии связан с пробегами в ее чистых компонентах простой формулой: , где – массовый пробег частиц в эмульсии, – массовая доля -го компонента в эмульсии, – массовый пробег в соответствующей однокомпонентной среде. В качестве соотношения пробег-энергия в простых средах используется эмпирическая формула г/см, где – атомная масса -ой составляющей.

   Кинетическая энергия -частиц, соответствующая заданной величине пробега в фотоэмульсии, получается равной . Для мкм начальная энергия составляет МэВ.

   Начальные кинетические энергии протонов и дейтронов находим, исходя из соотношения пробегов этих частиц и пробега -частицы: , где – масса протона или дейтрона. Общая формула для расчета начальной энергии этих частиц, таким образом, выглядит так: . Кинетическая энергия протонов получается равной МэВ, дейтронов – МэВ.

   Удельные потери энергии протонов, дейтронов и -частиц по отношению к удельным потерям протонов следующие: ; ; соответственно.

   Оценки искомых отношений, проведенные на основании приближенной формулы для удельных ионизационных потерь и соответственно приближенного выражения для пробега , составят , где индекс обозначает характеристики протонов, дейтронов или -частиц. Численно, отношения получаются равными ; ; .

   Заметим, что плотности зерен различаются существенно меньше, что весьма затрудняет разделение одинаково заряженных частиц на равных пробегах.

>>Тесты

Задачи для аудиторной работы <<