1. Найти средний пробег протонов с энергией МэВ в свинце.

   Ответ

   мкм.

2. Вычислить массовый пробег протонов отдачи, выбиваемых при лобовом столкновении нейтронами с энергией МэВ в полиэтилене .

   Ответ

   г/см.

   Массовый пробег протонов с энергией МэВ в полиэтилене может быть выражен через массовый пробег в воздухе согласно соотношению: , где рассчитывается по эмпирической формуле. Суммирование по индексу производится по всем компонентам воздуха, т.е. , а суммирование по индексу – по чистым составляющим полиэтилена: ; – атомная масса -го компонента рассматриваемых сложных сред, и – массовые доли -го и -го элементов воздухе и полиэтилене соответственно.

3. Ионизирующие частицы, проходя через фотоэмульсию, воздействуют на кристаллы бромистого серебра таким образом, что после проявления они образуют ряд черных зерен галоидного серебра, расположенных вдоль следа частицы. Плотность зерен зависит от типа эмульсии, способа проявления и возрастает с увеличением удельных потерь энергии ионизирующей частицы.

   а) Как определить направление движения нерелятивистской частицы по ее следу в эмульсии?

   б) Протоны, дейтроны и -частицы имеют в эмульсии одинаковый пробег мкм. Как относятся их удельные потери энергии в начале пробега?

   Сравнить полученные результаты с отношением удельных потерь, рассчитаным с использованием приближенной формулы для тормозной способности , где – заряд падающей частицы ( – элементарный заряд), – ее скорость, – масса электрона, – концентрация электронов среды.

   Ответ

   а) С уменьшением скорости нерелятивистской быстрой заряженной частицы возрастают ее ионизационные потери. Следовательно, число зерен на единицу длины следа увеличивается в направлении движения частицы.

   б) Пробег -частиц в фотоэмульсии связан с пробегами в ее чистых компонентах простой формулой: , где – массовый пробег частиц в эмульсии, – массовая доля -го компонента в эмульсии, – массовый пробег в соответствующей однокомпонентной среде. В качестве соотношения пробег-энергия в простых средах используется эмпирическая формула г/см, где – атомная масса -ой составляющей.

   Кинетическая энергия -частиц, соответствующая заданной величине пробега в фотоэмульсии, получается равной . Для мкм начальная энергия составляет МэВ.

   Начальные кинетические энергии протонов и дейтронов находим, исходя из соотношения пробегов этих частиц и пробега -частицы: , где – масса протона или дейтрона. Общая формула для расчета начальной энергии этих частиц, таким образом, выглядит так: . Кинетическая энергия протонов получается равной МэВ, дейтронов – МэВ.

   Удельные потери энергии протонов, дейтронов и -частиц по отношению к удельным потерям протонов следующие: ; ; соответственно.

   Оценки искомых отношений, проведенные на основании приближенной формулы для удельных ионизационных потерь и соответственно приближенного выражения для пробега , составят , где индекс обозначает характеристики протонов, дейтронов или -частиц. Численно, отношения получаются равными ; ; .

   Заметим, что плотности зерен различаются существенно меньше, что весьма затрудняет разделение одинаково заряженных частиц на равных пробегах.

4. На поверхности кремниевого ППД нанесен слой борсодежащего вещества. Оценить пробег -частиц, возникающих при взаимодействии тепловых нейтронов с ядром бора, в ППД.

   Ответ

   Энергия -частиц реакции , идущей под действием тепловых нейтронов, составляет МэВ. Пробег для таких частиц можно рассчитать методом численного интегрирования, воспользовавшись справочными данными по удельным потерям энергии.

   Приближенное значение пробега можно получить простым расчетом интегральной суммы: , где , ( – начальная энергия), . Суммирование достаточно проводить до такого , когда .

   На основании данных NIST ASTAR по удельным потерям пробег -частиц с энергией МэВ в кремнии получается равным мкм.

5. Функция распределения быстрых тяжелых заряженных частиц по пробегам с хорошей точностью представима в гауссовой форме. Для частиц с начальной кинетической энергией эта функция характеризуется максимумом, равным пробегу частиц в модели непрерывного замедления , и дисперсией , где – удельные ионизационные потери энергии, – средний квадрат ионизационных потерь энергии на единицу пройденного пути.

   Используя следующую формулу для относительной величины разброса частиц неультрарелятивистских энергий () по пробегам , где – масса падающих частиц, – масса электрона, – коэффициент торможения формулы Бете, рассчитайте относительный разброс пробегов протонов с энергиями МэВ и ГэВ в углероде и свинце.

   Ответ

   Для нерелятивистских энергий относительный разброс по пробегам не зависит от начальной энергии падающих частиц и слабо зависит от характеристик среды: , где кулоновский логарифм . Для протонов с начальной энергией МэВ относительный разброс составляет и при движении в углероде и свинце соответственно.

   При переходе к более высоким энергиям появляется слабая зависимость от . В случае разброс . Величина разброса, тем не менее, остается малой, поскольку . При ГэВ относительный разброс протонов по пробегам в углероде и свинце получается равным и соответственно.

6. Средний пробег тяжелой заряженной частицы с начальной энергией рассчитывается по формуле

   
   

   где – удельные потери энергии частицы в веществе. Использование формулы Бете для удельных ионизационных потерь в подынтегральном выражении требует выбора в качестве энергии остановившихся частиц (нижний предел интегрирования) такой энергии, чтобы частицу еще можно было считать быстрой. Этот выбор допустим только в том случае, если накопленный разброс по пройденным путям при торможении до энергии значительно превышает остаточный пробег. При этом величина остаточного пробега должна быть много меньше полного пробега.

   Обусловленный флуктуациями ионизационных потерь, среднеквадратичный разброс быстрых нерелятивистских частиц по пробегам определяется следующим приближенным выражением

   
   

   где и – зарядовое число и масса падающей частицы, – масса электрона, – концентрация электронов среды, – коэффициент торможения, соответствующий формуле Бете.

   Принимая ( – постоянная тонкой структуры, – зарядовое число ядер среды), оцените нижнюю границу начальных энергий нерелятивистских -частиц , при которой возможно использование формулы Бете для расчета пробегов в легких средах. Для приближенного расчета остаточного пробега -частиц при энергии воспользуйтесь известными эмпирическими соотношениями. Используя экспериментальные данные по пробегам -частиц в различных средах, убедитесь, что средний пробег при много меньше остаточного пробега .

   Ответ

   Отношение характерного разброса -частиц по пробегам в легких средах при начальной энергии к остаточному пробегу при есть

   
   

   Поскольку отношение слабо зависит от характеристик среды, удовлетворение требованию чувствительно к изменению только начальной энергии, т.е. искомого параметра (рассматриваемое отношение или ). Уже при (т.е. ) разброс по пробегам оказывается на порядок больше остаточного пробега. Как следствие, для легких сред () расчет среднего пробега с использованием формулы Бете допустим при начальных энергиях -частиц порядка и более нескольких сотен МэВ.

   Например, для бериллиевой мишени МэВ. Накопленный разброс по пробегам становится на порядок больше остаточного пробега г/см уже при МэВ. Полный пробег -частиц с энергией МэВ составляет г/см.

   Для алюминия МэВ. Отношение при МэВ. Величина среднего пробега при МэВ приблизительно равна г/см, а остаточный пробег г/см.

   Если кинетическая энергия -частиц при влете в вещество оказывается в релятивистской области, расчет среднего пробега с помощью формулы Бете с хорошей точностью можно проводить и для сред со средними и тяжелыми ядрами.

7. Определить энергии протонов, при которых расчёт пробега в легких средах возможен с использованием формулы Бете для удельных ионизационных потерь. Исходить из требования, чтобы для энергий искомого диапазона характерный разброс по пробегам значительно превосходил остаточный пробег при энергии, когда протоны еще можно считать быстрыми. При этом величина остаточного пробега должна быть много меньше полного пробега.

   Характерный разброс быстрых нерелятивистских протонов с начальной кинетической энергией по пробегам определяется следующим выражением:

   
   

   где и – масса электрона и протона соответственно, – концентрация электронов среды, – коэффициент торможения, соответствующий формуле Бете.

   В качестве нижней границы кинетической энергии быстрых протонов рассмотреть величину , где – постоянная тонкой структуры, – зарядовое число ядер среды.

   Численные значения остаточных пробегов взять из имеющихся в доступе баз данных по пробегам протонов в различных средах.

   Ответ

   Для поиска допустимых значений начальных кинетических энергий протонов, при которых выполняется неравенство , удобно выразить через граничную энергию быстрых частиц . Представив , исследуемое отношение запишется в следующем явном виде:

   
   

   где молярная масса вещества выражена в г/моль, а – массовый остаточный пробег – подставляется в г/см.

   Комбинация величин является слабо зависящей от характеристик среды и начальной энергии протонов.

   Используя табличные данные по пробегам, можно установить, что для лёгких сред рассматриваемое неравенство справедливо при .

   В случае прохождения протонов через среды с легкими ядрами, таким образом, расчет пробегов для энергий выше нескольких сот МэВ с хорошей точностью можно проводить с помощью формулы Бете для удельных ионизационных потерь соответствующим интегрированием в общей формуле для пробега в диапазоне от до заданной начальной энергии.

   Для сред с тяжелыми и средними ядрами применение формулы Бете для расчёта пробегов протонов возможно лишь при релятивистских энергиях налетающих частиц.

   Верхняя граница допустимых начальных энергий определяется появлением существенного вклада радиационных потерь энергии. Ориентировочно, это соответствует энергиям протонов в несколько сотен ГэВ.

8. Экспериментатор имеет пучок протонов, ускоренных в циклотроне до энергии МэВ. Для работы ему требуются протоны с энергией МэВ. Какой толщины графитовый поглотитель необходимо использовать для получения пучка протонов с нужной энергией?

   Ответ

   см.

9. Дейтроны с энергией МэВ попадают в ионизационный детектор через окошко из алюминиевой фольги толщиной см. Определить энергию частиц в детекторе.

   Ответ

   МэВ.

10. На пути протонов с энергией МэВ. Поставлен графитовый поглотитель толщиной г/см. Найти энергию протонов после поглотителя.

    Ответ

    МэВ.

>>Задачи для аудиторной работы

Задачи. Часть 5 <<