Задача 3. Найти средний пробег протонов с энергией МэВ в свинце.

Решение. Средний пробег тяжелой заряженной частицы с начальной энергией определяется следующим общим соотношением

где – удельные потери энергии частицы в среде.

Нижний предел интегрирования соответствует полному замедлению частицы – ее остановке. Напомним, что под остановившейся частицей в теории прохождения заряженных частиц через вещество подразумевают частицу, замедлившуюся до некоторой "`пороговой"' энергии . Для тяжелых заряженных частиц эта энергия такова, что длина пути при дальнейшем замедлении много меньше уже имеющегося при разброса частиц по глубине проникновения в среду. Для нерелятивистских частиц указанное условие выполняется, если . Приведенная оценка позволяет определять значения начальных энергий, для которых расчеты пробегов можно проводить с помощью общей формулы, где – удельные ионизационные потери, описываемые формулой Бете (либо формулой Бете с учетом эффекта плотности). Так, для протонов, -частиц и других легчайших ионов, проходящих через среду с легкими и средними ядрами, применимость формулы Бете (и формулы Бете с учетом эффекта плотности) для расчета пробегов ограничивается начальной энергией частиц порядка и более сотен МэВ¹. Поскольку при этом , интегрирование формально можно проводить в пределах от до . В пренебрежении зависимостью кулоновского логарифма от энергии выполнение этого интегрирования не представляет каких-либо сложностей.

Общая формула для пробега, когда допустимо использование формулы Бете (с учетом эффекта плотности) в подынтегральном выражении, позволяет представить пробег быстрой тяжелой заряженной частицы с начальной скоростью , такой, что , в следующем виде:

где – масса частицы, – ее зарядовое число, – Лоренц-фактор, размерная функция скорости частицы определяется только характеристиками среды.

Пробеги двух частиц, движущихся в одной и той же среде с одинаковыми начальными скоростями, таким образом, соотносятся как

Индексы и маркируют величины, относящиеся к разным частицам.

Взаимодействуя с атомами свинца (или атомами других тяжелых элементов), протоны считаются быстрыми, если их энергия порядка и более нескольких десятков МэВ. В этой связи расчет пробега протона с энергией порядка и менее нескольких МэВ в свинце с помощью формулы Бете некорректен. Обычно для практических расчетов пробегов частиц промежуточных и низких энергий используются различные функции, аппроксимирующие экспериментальные данные по пробегам.

Неупругое рассеяние на атомах является основным механизмом потерь энергии тяжелой заряженной частицы при ее замедлении вплоть до энергий в несколько сотен эВ. Удельные потери энергии при этом определяются рассеянием на электронах, связь которых в атомах учитывается коэффициентом торможения:

Из общих соображений можно показать, что масса частицы (не слишком высокой энергии) в не входит.

Для частиц средних и умеренно релятивистских энергий основной вклад в коэффициент торможения соответствует формуле Бете и удовлетворительно описывает кулоновское замедление быстрых заряженных частиц в рамках применимости первого борновского приближения. В этом случае не зависит ни от массы, ни от заряда падающей частицы с заданной скоростью (что мы и использовали выше при выводе соотношения для пробегов быстрых частиц равных скоростей).

Поправочные слагаемые в представляют собой члены асимптотического разложения по борновскому параметру . Корректировка формулы Бете необходима для ² и в области ограничиваются членами разложения вплоть до (поправки Баркаса и Блоха) с дополнительным учетом связи электронов в атоме через так называемую оболочечную поправку. Коэффициент торможения при этом представляет собой функцию заряда падающей частицы, ее скорости и характеристик среды. Поскольку для легких ионов средних энергий величины поправок, как правило, не превышают пары десятков процентов, зависимость от не является существенной.

Если этой зависимостью пренебречь и при сравнении медленных ионов с близкими , приведенная выше формула для отношения пробегов быстрых заряженных частиц остается в силе и для указанного случая.

Знание отношения пробегов двух частиц позволяет получить значение пробега некоторой частицы по известному пробегу другой частицы. Последний может быть вычислен менее затруднительным способом или определен с помощью доступных данных по пробегам. Наиболее простые расчеты пробегов можно произвести либо с помощью формулы Бете, либо с использованием эмпирических формул. Выбор метода зависит от типа частицы, ее начальной энергии и вида вещества.

Обратимся к связи пробегов нерелятивистских протона и -частицы. При заданной кинетической энергии эта связь следующая:

где – кинетическая энергия протона, и – массы протона и -частицы соответственно.

Для расчета пробега протона с кинетической энергией в МэВ, таким образом, необходимо вычислить пробег -частицы с начальной энергией МэВ в том же веществе. Указанное значение энергии -частицы попадает в энергетический диапазон применимости простой эмпирической формулы для расчета ее пробега: мг/см, где – атомная масса элементов среды, а кинетическая энергия подставляется в МэВ. Тогда массовый пробег протона с заданной энергией в свинце составит

что соответствует величине пробега в мкм.

Ответ. Пробег протона равен мкм.

>>Примеры решения задач. Задача 4

Примеры решения задач. Задача 2 <<

1. Верхняя граница допустимых начальных энергий соответствует верхней границе области применимости используемой формулы для удельных потерь.
2. Нижняя граница "`бете-диапазона"' в энергетических единицах существенно зависит от зарядового числа ядер среды, для протонов ориентировочно можно принять, что эта энергия варьируется в пределах от нескольких МэВ до нескольких десятков МэВ при переходе к более тяжелым средам.