Задача 1. В рамках формализма независимых парных столкновений с помощью строгой теории кулоновского рассеяния получить выражение для тормозной способности вещества для тяжелой нерелятивистской заряженной частицы при ее взаимодействии со свободными, первоначально покоящимися атомными частицами среды.

Решение. Статистическая независимость отдельных парных столкновений падающей частицы с частицами среды позволяет представить полную величину энергетических потерь в виде суммы потерь по отдельным столкновениям. При этом не обязательно предполагать, что отдельные столкновения следуют одно за другим во времени. Напротив, большое их число может происходить одновременно. Важно только, чтобы рассеиватели были расположены в пространстве случайным образом (однородная неупорядоченная среда), а взаимодействие каждой отдельной частицы среды с пролетающей частицей не было искажено ответным откликом других рассевателей.

Средняя потеря энергии падающей частицы с начальной кинетической энергией при рассеянии на покоящейся частице мишени

где – кинетическая энергия налетающей частицы после рассеяния, – минимально возможное значение этой энергии. Функция распределения рассеянных частиц по энергии есть плотность вероятности того, что после рассеяния частица имеет кинетическую энергию .

Рассматривая переменную интегрирования как функцию угла рассеяния частиц в системе центра масс , последнее выражение перепишется в виде

где – потеря энергии падающей частицей в одном столкновении как функция ее угла рассеяния в системе центра масс, – максимальный угол рассеяния частиц в ц-системе. Функция есть функция распределения частиц по их углу рассеяния в системе центра масс.

Величина представляет собой вероятность рассеяния частицы на углы в ц-системе, а потому она пропорциональна дифференциальному эффективному поперечному сечению рассеяния частиц в этой же системе отсчета:

Интегрирование плотности вероятности по всем углам дает единицу, поэтому

где – полное сечение рассеяния. Попутно мы ограничились только теми прицельными расстояниями, при которых имеет место взаимодействие частиц¹.

Средние потери энергии падающей частицы при однократном рассеянии, таким образом, получаются равными

Интегрирование производится по той переменной, относительно которой раскрывается дифференциал.

Согласно установленному выше ограничению на возможные прицельные расстояния сталкивающихся частиц, взаимодействие падающей частицы с частицами среды происходит в объеме, поперечник которого ограничен окружностью с равной полному сечению рассеяния частиц площадью.

Полное число столкновений пролетающей частицы с частицами вещества в слое толщиной вдоль направления падения совпадает с полным числом рассеивателей в рассматриваемом объеме:

где – концентрация рассеивателей.

Полагая, что в каждом столкновении , средняя потеря энергии пролетающей частицы при прохождении слоя равна

Формула для тормозной способности вещества, таким образом, принимает следующий общий вид:

При описании торможения частицы за счет упругих и неупругих столкновений на атомах среды интегрирование в правой части последнего уравнения нужно проводить от суммы произведений , соответствующих упругому рассеянию и неупругим процессам с возбуждением определенных уровней атома.

Нетрудно видеть также, что тормозная способность вещества, состоящего из частиц разного сорта, есть просто сумма удельных потерь энергии частицы от столкновений с каждым видом частиц в отдельности.

В случае покоящихся частиц мишени полученное соотношение является также релятивистски правильным.

В приближении свободных бесструктурных атомных частиц есть кинетическая энергия, преобретаемая частицей мишени в результате упругого рассеяния на ней, а – дифференциальное сечение кулоновского упругого рассеяния.

Энергия отдачи как функция угла рассеяния частиц в системе центра масс оказывается равной

где и – массы падающей частицы и частицы мишени соответственно.

Дифференциальное сечение упругого рассеяния заряженных частиц в их системе центра масс дается формулой

где , – заряды взаимодействующих частиц, – кинетическая энергия относительного движения частиц до рассеяния (или суммарная кинетическая энергия частиц до рассеяния в ц-системе).

Подставляя явные выражения для переданной энергии и дифференциального сечения в формулу для тормозной способности и проводя несложные преобразования, получим следующее соотношение для удельных потерь при торможении на частицах одного сорта

Если переменную интегрирования заменить на переданный в одном столкновении импульс ( – скорость падающей частицы до рассеяния, – приведенная масса частиц), последнее выражение принимает вид

где кулоновский логарифм

представляет собой расходящийся на нижнем пределе интеграл.

В силу обратной пропорциональности удельных потерь массе частиц мишени, основной вклад в кулоновское торможение почти всегда дает взаимодействие с электронами среды. Поэтому устранение расходимости кулоновского логарифма производится из дополнительных физических соображений.

Малые передаваемые импульсы соответствуют большим прицельным расстояниям, при которых взаимодействие, связывающее электроны в атомы сильнее, чем взаимодействие падающей частицы с этими электронами. Для таких передаваемых импульсов электроны нельзя рассматривать как свободные, поэтому для корректного описания торможения частицы нижний предел интегрирования в кулоновском логарифме следует ограничить некоторым . Тогда

Строгий расчет тормозной способности вещества для быстрых тяжелых заряженных частиц вследствие их упругих и неупругих рассеяний на атомах среды указывает на преобладание вклада в именно неупругих столкновений, которые, в случае больших передаваемых импульсов, сводятся к упругим рассеяниям на свободных электронах.

Ответ. Тормозная способность вещества для тяжелой заряженной частицы с зарядом и скоростью при ее взаимодействии со свободными атомными частицами среды равна , где – элементарный заряд, – концентрация электронов среды, – их масса. Кулоновский логарифм определяется минимальным переданным электрону импульсом , при котором электроны можно считать свободными.

>>Примеры решения задач. Задача 2

Контрольные вопросы и задания <<

---

1. Без этого ограничения только тогда, когда интегрирование производится по всем .