Существует два основных теоретических подхода при вычислении потерь энергии заряженной частицы в веществе: формализм парных столкновений и формализм диэлектрической проницаемости.

Формализм парных столкновений основан на предположении о статистической независимости отдельных парных столкновений падающей частицы с частицами среды. Этот подход применим для однородных неупорядоченных сред, где взаимными корреляциями в отклике отдельных частиц среды на пролетающую частицу можно пренебречь.

Формализм диэлектрической проницаемости предполагает, что все масштабы длин, характеризующих взаимодействие заряженной частицы со средой, существенно превышают расстояния между атомными частицами среды. В этом пределе тормозящее вещество можно считать непрерывной сплошной средой, а возможные корреляции в отклике частиц мишени на воздействие со стороны пролетающего заряда учитываются автоматически при вычислении диэлектрической проницаемости среды.

В теории независимых парных столкновений удельные потери энергии заряженной частицы при рассеянии на покоящихся (или медленных) частицах среды могут быть рассчитаны по общей формуле:

где – концентрация рассеивателей, – изменение кинетической энергии падающей частицы при ее однократном рассеянии, – дифференциальное эффективное поперечное сечение рассеяния частиц. Интегрирование производится по тем переменным, относительно которых раскрывается дифференциал .

Простейший вариант классической теории ионизационного торможения рассматривает взаимодействие быстрой заряженной частицы с атомными частицами среды как с покоящимися, свободными, точечными частицами. В рамках приближения быстрого пролета¹ классичекий подход позволяет получить правильную релятивистскую формулу для удельных ионизационных потерь²

Здесь – заряд падающей частицы – элементарный заряд), – ее скорость, – масса электрона, – концентрация электронов среды, – кулоновский логарифм или логарифмический фактор³, – величина переданного электрону импульса в одном столкновении.

При достаточно больших значениях приближение быстрого пролета оказывается справедливым в логарифмически широком интервале значений величины переданного импульса или прицельного расстояния. Поэтому уточнение этого приближения приводит лишь к изменению самого кулоновского логарифма, но не выражения, стоящего перед ним.

Так, строгое рассмотрение кулоновского рассеяния нерелятивистской заряженной частицы на свободных покоящихся атомных частицах среды (электронах) приводит только лишь к уточнению величины максимально возможного переданного импульса в кулоновском логарифме: ⁴.

Корректное определение величины минимального переданного импульса в одном столкновении с электроном и позволяет устранить расходимость кулоновского логарифма на нижнем пределе.

Кулоновская расходимость возникает, прежде всего, вследствие слабого убывания силы электростатического взаимодействия с расстоянием. На достаточно большом расстоянии от падающей частицы взаимодействие, связывающее электроны среды в атомы, будет сильнее, чем их взаимодействие с пролетающей частицей. Поэтому электроны нельзя рассматривать как свободные. Именно учет этой связи позволил Бору в рамках классической физики⁵, а позже Бете для конкретной квантово-механической модели атома в рамках первого борновского приближения⁶ вывести формулы для удельных ионизационных потерь энергии быстрой тяжелой заряженной частицы в веществе. Строгое квантово-механическое вычисление кулоновского логарифма, учитывающее возмущения состояний атомных электронов среды пролетающим зарядом, было проведено Блохом. Полученное соотношение для удельных потерь в качестве двух предельных случаев содержит в себе формулу Бора и Бете⁷.

Дальнейшие уточнения формулы Бете корректируют коэффициент торможения введением аддитивных поправок. Таким образом, для частиц средних и релятивистских энергий коэффициент торможения представляют в виде суммы основного и поправочного членов:

Первое слагаемое

где – максимальная энергия, переданная падающей частицей с массой свободному электрону среды, параметр , Лоренц-фактор , – средний ионизационный потенциал атомов среды, – поправка на эффект плотности.

Средний ионизационный потенциал атома или средняя энергия ионизации атома – это величина, натуральный логарифм которой есть усредненный по силам осцилляторов дипольных атомных переходов натуральный логарифм от соответствующей этим переходам энергии возбуждения атома⁸.

Поправка на эффект плотности определяет влияние поляризации атомов вещества вдоль траектории быстрой заряженной частицы на его тормозную способность⁹. Для частиц достаточно высоких энергий ) величина поправки может быть рассчитана через так называемую частоту плазменных колебаний среды :

Энергия плазменных колебаний , где – классический радиус электрона, – постоянная тонкой структуры.

Удельные ионизационные потери с есть формула Бете с поправкой на эффект плотности. Часто эту формулу и называют формулой Бете¹⁰. Она описывает торможение быстрых тяжелых заряженных частиц с . Значение соответствует скорости налетающей частицы, сравнимой со средней скоростью атомных электронов среды. При заметную роль начинают играть радиационные эффекты.

Поправка корректирует формулу Бете в области средних энергий, а именно для . Для частиц с тормозная способность вещества с хорошей точностью (в несколько процентов) описывается формулой для удельных ионизационных потерь с

Вклад , где – зарядовое число ядер среды, есть так называемая оболочечная поправка. Она учитывает связь электронов в атомах и потому служит уточнением формулы Бете для частиц, скорости которых сравнимых со скоростями электронов внутренних оболочек атомов среды. Сложная функция различных параметров, величина представляет собой сумму вкладов от учета связи электронов на -, - и т.д. оболочках: .

Поправка называется поправкой Баркаса. Она определяет зависимость удельных ионизационных потерь от знака электрического заряда налетающей частицы и, таким образом, описывает различие в ионизационном торможении заряженных частиц и их античастиц¹¹. Величина поправки пропорциональна первой степени заряда падающей частицы (а соответствующая тормозная способность – третьей степени) и растет с уменьшением ее энергии.

Поправка Блоха учитывает возмущения состояний атомных электронов пролетающей заряженной частицей. Для величина поправки пропорциональна второй степени заряда падающей частицы (соответствующая тормозная способность зависит от как ) и растет с уменьшением ее скорости как .

Аналитические выражения для оболочечной поправки, поправки Баркаса и поправки на эффект плотности задаются удобной параметризацией полуэмпирическими соотношениями. Для практически важных случаев все поправки рассчитаны и табулированы.

Для тяжелых заряженных частиц с нет удовлетворительного теоретического описания процесса прохождения через вещество. Для расчета электронной части тормозной способности вещества (которая теперь определяется, помимо чистой ионизации, возбуждением атомов и процессом перезарядки) используют феноменологические формулы, аппроксимирующие экспериментальные данные (например, полуэмпирические аппроксимационные соотношения Андерсена-Циглера). Для широкого перечня материалов и частиц зависимость удельной тормозной способности от энергии имеет немонотонный характер с наличием максимума.

Для частиц с еще более низкими энергиями электронные удельные потери оказываются пропорциональными . При этом все большую роль в торможении частицы начинают играть упругие рассеяния. Соответствующие потери энергии называются ядерной частью потерь энергии, в англоязычном варианте – nuclear energy loss. Для легких ионов, например, ядерная часть тормозной способности вешества начинает доминировать ориентировочно при энергиях порядка кэВ.

Для тяжелых частиц средних и умеренно релятивистских энергий (ориентировочно, от нескольких единиц до сотен МэВ) расчеты тормозной способности вещества достаточно проводить с помощью простой формулы Бете (без учета эффекта плотности)¹²:

Концентрация электронов однокомпонентной (или чистой) среды¹³ , где – зарядовое число ядер среды, – ее плотность, – число Авогадро, – молярная масса атомов вещества. Поскольку молярная масса атомов вещества, выраженная в г/моль, численно равна относительной атомной массе соответствующего химического элемента, для величины также будем использовать наименование атомная масса элемента и альтернативное обозначение .

Средний ионизационный потенциал атомов среды может быть рассчитан по упрощенной полуэмпирической формуле

Для атомов с параметр равен энергии ионизации -электрона в атоме водорода: эВ. В случае же более тяжелых атомов, с , расчет параметра проводится с помощью следующей формулы: эВ.

Для сред сложного атомно-молекулярного состава концентрация электронов в формуле для удельных ионизационных потерь . Усредненное по массовой доле каждого элемента отношение , где – массовая доля химического элемента с порядковым номером и атомной массой . Оценку же средней энергии ионизации выполняют по следующей формуле:

Здесь – средняя энергия ионизации атомов -го элемента ¹⁴.

>>Теоретическая часть. Пробег тяжелой заряженной частицы

Теоретическая часть. Потери энергии и тормозная способность вещества. Тяжелые заряженные частицы <<

1. Приближение быстрого пролета или приближение кратковременного удара – это приближение невозмущенных траекторий движения взаимодействующих частиц. Пренебрегается смещением положения частицы среды и искривлением траектории пролетающего заряда в процессе столкновения. Приближение быстрого пролета применимо тогда, когда смещение частицы мишени за характерное время столкновения , где – прицельный параметр, – скорость падающей частицы) мало по сравнению с прицельным расстоянием.
2. Обычно в учебной литературе приводится вывод классического выражения для удельных ионизационных потерь именно в рамках приближения быстрого пролета. Вычисляется импульс, переданный свободному, покоящемуся электрону среды в пренебрежении его смещением и искривлением траектории пролетающей частицы в процессе столкновения. Для получения потерь энергии частицей при прохождении некоторого тонкого слоя вещества суммируются потери энергии от взаимодействия со всеми электронами слоя.
3. Величина в удельных ионизационных потерях не всегда является логарифмом. Поэтому для нее иногда употребляется отдельное наименование – коэффициент торможения (stopping number).
4. Вычисление удельных потерь проводится в рамках формализма независимых парных столкновений с использованием формулы (7.1). С логарифмической точностью приближение парных столкновений всегда применимо для расчета удельных потерь в неупорядоченных средах.
5. Рассматривалось столкновение заряженной частицы со связанным электроном, находящемся в потенциале гармонического осциллятора с некоторой собственной частотой.
6. Расчеты тормозной способности по формуле (7.1) в рамках первого борновского приближения для дифференциальных сечений упругого и неупругого рассеяний падающей частицы на атоме среды показывают преобладание вклада в неупругих рассеяний. При этом упругое рассеяние на свободных электронах атома реализуется в случае больших передаваемых атому импульсов при неупругом рассеянии на нем.
7. Формула Бете является асимптотическим пределом формулы Блоха при . По этой причине формула Бете иногда также называется формулой Бете-Блоха.
8. Не путать эту величину с энергией ионизации атома. Энергия ионизации атома или ионизационный потенциал – это минимальная энергия, необходимая для отрыва электрона от атома или иона.
9. Движущаяся в веществе заряженная частица изменяет распределение электронов в нем – поляризует вещество. Происходящая за счет этого экранировка влияния поля пролетающей частицы на далекие от нее атомы среды приводит к изменению тормозной способности вещества особенно при высоких, ультрарелятивистских, энергиях частицы (при которых имеет место заметное возрастание поперечной компоненты напряженности электрического поля движущегося заряда).
10. Далее, однако, под формулой Бете мы будем понимать формулу (7.2) с без поправки на эффект плотности.
11. Природа эффекта Баркаса заключается в поляризации атома при взаимодействии с ним налетающей частицы низкой энергии.
12. Для пионов, например, область применимости формулы Бете для описания удельных потерь соответствует кинетическим энергиям от нескольких сотен кэВ до МэВ, а для протонов – от нескольких МэВ до ГэВ. С ростом массы частицы "Бете-диапазон" смещается в сторону более высоких энергий.
13. Под однокомпонентными средами понимаются вещества, состоящие из атомов одного химического элемента.
14. Обширные актуальные данные по атомным и ядерным характеристикам различных материалов размещены на сайте коллаборации Particle Data Group (https://pdg.lbl.gov/) в подразделе "`Constans, Units, Atomic and Nuclear Properties"' раздела "`Reviews, Tables and Plots"'.