Пучок частиц с массой и некоторой кинетической энергией рассеивается на мишени с частицами массы . Полагая, что потенциальная энергия взаимодействия частиц падающего пучка с частицами мишени зависит только от расстояния между ними, найти дифференциальные эффективные сечения рассеяния частиц в лабораторной системе отсчета.
а) . Дифференциальное эффективное сечение рассеяния падающих частиц в лабораторной системе отсчета находим с помощью известной функции как , где – дифференциальное сечение рассеяния частиц в системе центра масс, , – углы рассеяния частиц пучка в ц- и л- системах отсчета соответственно. В итоге имеем , если и , если , .
б) . Искомое дифференциальное сечение для падающих частиц есть , где и – однозначные ветви функции . Косинусы этих функций есть , , и , , . Находя дифференциалы указанных функций по переменной , немедленно получаем .
Для частиц мишени зависимость однозначна при любом соотношении масс сталкивающихся частиц: , поэтому дифференциальное сечение рассеяния первоначально покоившихся частиц в лабораторной системе отсчета равно .
Доказать, что дифференциальные сечения рассеяния частиц, налетающих на покоящиеся другие частицы, в системе центра масс и лабораторной системе отсчета связаны равенством: , где и . Записать также связь между указанными сечениями для случая .
Связь между дифференциальными сечениями рассеяния налетающих частиц относительно ц- и л-систем отсчета в случае записывается в следующем общем виде или , где и ─ углы рассеяния падающей частицы относительно ц- и л- систем отсчета соответственно. Зависимость можно получить из диаграммы импульсов: . Нахождение дифференциала функции и дает искомую связь и . Равенство можно рассматривать и как связь дифференциальных сечений при заданном . В этом случае левую часть соотношения следует рассматривать как функцию от переменной , являющейся функцией .
При рассмотрении случая необходимо учитывать двузначность функции : , где суммирование производится по ее однозначным ветвям. Функция определена для и имеет область значений ; область определения функции также есть , а область значений . Рассчитывая дифференциал функции , искомая зависимость дифференциальных сечений падающих частиц примет следующий вид: , .
Вплоть до энергии МэВ угловое распределение рассеянных нейтронов в реакции в лабораторной системе отсчета хорошо описывается формулой . Как выглядит это распределение в системе центра масс?
.
Неподвижный шар радиуса облучают параллельным потоком частиц, радиус которых . Считая столкновения частиц с шаром абсолютно упругими, найти:
а) угол отклонения частицы в зависимости от ее прицельного параметра ;
б) дифференциальное эффективное поперечное сечение рассеяния частиц, а также их сечение рассеяния в переднюю полусферу ().
Упругое рассеяние частицы с шаром можно описать с помощью потенциальной энергии их взаимодействия в виде , если и , если , где – абсолютная величина радиус-вектора, описывающего положение частицы относительно центра шара. Для нахождения минимального значения как функции прицельного расстояния удобно графически исследовать равенство для разных значений (полной энергии налетающей частицы). Далее, учитывая, что траектория частицы симметрична относительно апсиды (прямой, соединяющей точку поворота и центр силы), можно получить , . Обратная последней функция и дает зависимость угла рассеяния частицы от ее прицельного параметра: , если и , если . Дифференциальное сечение рассеяния частиц на шаре есть . Сечение же рассеяния в переднюю полусферу .
Найти дифференциальное эффективное сечение упругого рассеяния шариков радиуса и массы на первоначально неподвижных шариках, радиус которых и масса .
Потенциальная энергия взаимодействия двух однородных абсолютно упругих шариков имеет вид , если и , если , где – абсолютная величина радиус-вектора, описывающего относительное движение сталкивающихся тел. Для нахождения минимального значения как функции прицельного расстояния удобно графически исследовать равенство для разных значений (полной энергии частиц в их системе центра масс). С учетом того, что траектории частиц в их системе центра масс и, соответственно, траектория их -точки симметричны относительно апсид (прямых, соединяющих центр масс шариков и точки поворота частиц), можно получить связь прицельного расстояния и угла рассеяния шариков в ц-системе: , . Если , . Дифференциальное сечение рассеяния шариков в системе центра масс .
Для отыскания дифференциального сечения рассеяния налетающих шариков в л-системе случаи разного соотношения масс взаимодействующих тел следует рассматривать отдельно:
a) Масса падающих шариков меньше или равна массе первоначально покоящихся шариков: . В этом случае функция , где – угол рассеяния налетающих шариков в лабораторной системе отсчета, является однозначной, и искомое дифференциальное сечение можно получить как . В результате, , если и , если .
б) . Дифференциальное сечение рассеяния налетающих шариков в лабораторной системе отсчета , где и – однозначные ветви функции . Поэтому .
Для первоначально покоящихся шариков дифференциальное сечение рассеяния в лабораторной системе отсчета .
Используя общее соотношение связи угла рассеяния частиц в системе центра масс с прицельным расстоянием и энергией относительного движения , получить зависимость для кулоновского потенциала. Получить также выражение для дифференциального сечения рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием в системе центра масс.
Дифференциальное сечение рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием в системе центра масс , где , – заряды взаимодействующих частиц. Для получения этого выражения прицельное расстояние как функцию угла рассеяния частиц в ц-системе (полученную из найденной зависимости для кулоновского потенциала) необходимо подставить в общее выражение для дифференциального сечения в ц-системе , затем вычесть дифференциал функции и перейти к элементу телесного угла .
Найти дифференциальные сечения рассеяния частиц с кулоновским взаимодействием в лабораторной системе отсчета, где частицы параллельного моноэнергетического пучка испытывают рассеяние на первоначально покоящихся частицах мишени. Соотношение масс частиц двух пучков произвольны.
В системе центра масс дифференциальное сечение рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием , где , – заряды взаимодействующих частиц, – угол рассеяния частиц в ц-системе, – суммарная кинетическая энергия частиц до рассеяния в системе центра масс. В случае рассеяния частиц с массой на первоначально покоящихся частицах с массой суммарная кинетическая энергия , – кинетическая энергия падающих частиц в лабораторной системе отсчета. Далее для записи отношения масс частиц будем пользоваться буквой : .
В лабораторной системе отсчета дифференциальное сечение рассеяния налетающих частиц для равно , где – угол рассеяния частиц пучка в л-системе; , если ; , если .
Для частиц мишени дифференциальное сечение рассеяния в л-системе , где – угол рассеяния первоначально покоящихся частиц в лабораторной системе отсчета.
Дифференциальное сечение рассеяния частиц падающего пучка под углом в лабораторной системе отсчета составляет мб/ср. Рассчитать величину интегрального сечения, если угловая зависимость дифференциального сечения рассеяния в системе центра масс имеет вид , где ─ угол рассеяния частиц в ц-системе. Принять, что масса налетающих частиц много меньше массы частиц мишени.
барн.
Альфа-частицы с кинетической энергией МэВ рассеиваются кулоновским полем ядер атомов свинца. Определить дифференциальные сечения рассеяния -частиц и на угол .
смрад, смср.
Вычислить сечение рассеяния протонов с кинетической энергией МэВ на ядрах атома золота в интервале углов от до .
см, – порядковый номер ядер золота.
Дифференциальное сечение рассеяния -частиц кулоновским полем неподвижного ядра смср для угла . Вычислить сечение рассеяния -частиц в интервале углов .
Сечение рассеяния -частиц в заданном интервале углов есть см.
Протоны, ядра лития и ядра углерода, ускоренные одной и той же разностью потенциалов, проходят через тонкую платиновую фольгу. Какие из этих частиц будут рассеиваться сильнее всего?
Одинаково.
Определить дифференциальное сечение упругого рассеяния протонов на ядре под углом , если известно, что за сеанс облучения мишени толщиной мг/см протонами с суммарным зарядом мкКл на детектор площадью см, расположенный на расстоянии см от мишени, попало упруго рассеянных протонов.
барн/ср.
Свинцовая фольга толщиной мкм облучается пучком протонов с плотностью потока частиц/смс. Кинетическая энергия протонов МэВ. Сколько протонов на единицу телесного угла падает в секунду на детектор, расположенный под углом к оси пучка? Площадь пятна пучка на мишени мм.
частиц/сср, где – зарядовое число ядра свинца, – молярная масса свинца, – плотность фольги.
Золотая пластинка толщиной мкм облучается пучком -частиц с плотностью потока частиц/смс. Кинетическая энергия -частиц равна МэВ. Сколько -частиц на единицу телесного угла падает в секунду на детектор, расположенный под углом к оси пучка? Площадь пятна пучка на мишени мм.
частиц/сср.
Узкий пучок -частиц с энергией МэВ падает нормально на золотую фольгу толщиной мг/см. Альфа-частицы, рассеянные под углом , регистрируются детектором площади см, установленным на расстоянии см от места рассеяния. Найти долю -частиц, регистрируемых детектором.
Доля регистрируемых -частиц составит , где
– зарядовое число -частицы, и – зарядовое и массовое числа ядра золота.
Узкий пучок протонов с кинетической энергией кэВ падает нормально на золотую фольгу толщиной мг/см. Протоны, рассеянные под углом , регистрирует счетчик, круглое входное отверстие которого имеет площадь см, отстоит от рассеивающего участка фольги на расстоянии см и ориентировано перпендикулярно к падающим на него протонам. Какая доля рассеянных протонов попадает в отверстие счетчика?
.
При замене золотой фольги серебряной в опытах по упругому рассеянию -частиц тонкими фольгами толщиной см число зарегистрированных -частиц уменьшается в 2.8 раза. Определить заряд ядра серебра, если порядковый номер золота .
, – отношение числа зарегистрированных -частиц после их рассеяния на золотой и серебряной фольгах.
Протоны с энергией МэВ испытывают резерфордовское рассеяние на серебряной пластинке толщиной мкм. Какая часть налетающих протонов будет рассеяна на углы больше ?
, – порядковый номер ядер серебра, – концентрация ядер мишени.
Протоны с энергией МэВ испытывают резерфордовское рассеяние на свинцовой фольге толщиной мг/см. Какая часть протонов будет рассеяна на углы большие ?
.
Найти вероятность того, что -частица с энергией МэВ при прохождении свинцовой фольги толщиной мкм испытает рассеяние в интервале углов: а) ; б) .
а) ; б) Вероятность -частице рассеяться в интервале углов , где – порядковый номер ядер свинца, – молярная масса свинца, – плотность свинцовой фольги.
Узкий пучок -частиц с кинетической энергией МэВ и интенсивностью частица/с падает нормально на золотую фольгу толщиной мкм. Найти число -частиц, рассеянных фольгой в течение мин в интервале углов а) ; б) ; в) .
а) частиц; б) а) частиц, где – концентрация ядер мишени с порядковым номером , – толщина мишени, – интенсивность пучка -частиц с кинетической энергией , – время облучения; в) частиц.
Узкий пучок протонов с кинетической энергией МэВ падает нормально на латунную фольгу толщиной мг/см. Найти долю протонов, рассеивающихся на углы свыше , если весовое отношение меди и цинка в фольге равно соответственно :.
Доля рассеянных протонов составит . Здесь , – зарядовые числа ядер меди и цинка соответственно, , – молярные массы меди и цинка, – соотношение меди и цинка в латунной фольге.
Узкий пучок моноэнергетических -частиц падает нормально на свинцовую фольгу толщиной мг/см. При этом – часть первоначального потока, рассеивающегося под углами . Найти дифференциальное сечение рассеяния , отвечающее углу .
см/ср, где – молярная масса свинца, – массовая толщина свинцовой фольги.
Плоский поток -частиц с кинетической энергией падает нормально на тонкую золотую фольгу, вырезанную в виде плоского кольца (см. рисунок). Плотность потока -частиц равна частица/(смс). Фольга содержит ядер на см поверхности. Найти – число -частиц, падающих в 1 с на 1 см поверхности экрана вблизи точки . Углы и известны, причем рассеяние в пределах этих углов подчиняется формуле Резерфорда.
Число частиц пучка, рассеянных элементарным объемом кольца с внешними радиусами , и площадью поперечника в элемент телесного угла в направлении точки в единицу времени
где – угол рассеяния частиц.
Рассматриваемые частицы попадут на площадку в окрестности точки , ориентированную перпендикулярно потоку рассеянных частиц ( – расстояние от рассматриваемого элемента объема кольца до точки ). Эти же частицы пересекут площадку , ориентированную перпендикулярно направлению падения первоначального пучка.
Для объема всего кольца, таким образом, получим
Радиус кольца и расстояние как функции угла есть , , где – расстояние от центра симметрии мишени до точки .
Искомое число -частиц, падающих в секунду на единицу поверхности площадки в окрестности точки , получается интегрированием последнего выражения по в заданных пределах:
где и – зарядовые числа -частицы и ядра золота соответственно.
и некоторой кинетической энергией рассеивается на мишени с частицами массы 
. Полагая, что потенциальная энергия взаимодействия частиц падающего пучка с частицами мишени зависит только от расстояния между ними, найти дифференциальные эффективные сечения рассеяния частиц в лабораторной системе отсчета.
. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния падающих частиц в лабораторной системе отсчета находим с помощью известной функции 
как 
, где 
– дифференциальное сечение рассеяния частиц в системе центра масс, 
, 
– углы рассеяния частиц пучка в ц- и л- системах отсчета соответственно. В итоге имеем 
, если 
и 
, если 
, 
.
. Искомое дифференциальное сечение для падающих частиц есть 
, где 
и 
– однозначные ветви функции 
, 
, 
и 
, 
. Находя дифференциалы указанных функций по переменной 
.
однозначна при любом соотношении масс сталкивающихся частиц: 
, поэтому дифференциальное сечение рассеяния первоначально покоившихся частиц в лабораторной системе отсчета равно 
.
, где 
. Записать также связь между указанными сечениями для случая 
.
или 
, где 
можно получить из диаграммы импульсов: 
. Нахождение дифференциала функции 
и 
.
, где суммирование производится по ее однозначным ветвям. Функция 
, 
.
МэВ угловое распределение рассеянных нейтронов в реакции 
в лабораторной системе отсчета хорошо описывается формулой 
. Как выглядит это распределение в системе центра масс?
.
облучают параллельным потоком частиц, радиус которых 
. Считая столкновения частиц с шаром абсолютно упругими, найти:
отклонения частицы в зависимости от ее прицельного параметра 
;
).
, если 
и 
, если 
, где 
для разных значений 
(полной энергии налетающей частицы). Далее, учитывая, что траектория частицы симметрична относительно апсиды (прямой, соединяющей точку поворота и центр силы), можно получить 
, 
. Обратная последней функция и дает зависимость угла рассеяния частицы от ее прицельного параметра: 
, если 
, если 
. Дифференциальное сечение рассеяния частиц на шаре есть 
. Сечение же рассеяния в переднюю полусферу 
.
и массы 
и масса 
и 
, где 
-точки симметричны относительно апсид (прямых, соединяющих центр масс шариков и точки поворота частиц), можно получить связь прицельного расстояния и угла рассеяния шариков в ц-системе: 
, 
. Если 
, 
. Дифференциальное сечение рассеяния шариков в системе центра масс 
.
. В результате, 
, если 
и 
, если 
.
. Дифференциальное сечение рассеяния налетающих шариков в лабораторной системе отсчета 
, где 
.
.
, получить зависимость 
, где 
, 
– заряды взаимодействующих частиц. Для получения этого выражения прицельное расстояние как функцию угла рассеяния частиц в ц-системе (полученную из найденной зависимости 
, затем вычесть дифференциал функции 
и перейти к элементу телесного угла 
. 
, где 
– суммарная кинетическая энергия частиц до рассеяния в системе центра масс. В случае рассеяния частиц с массой 
, 
– кинетическая энергия падающих частиц в лабораторной системе отсчета. Далее для записи отношения масс частиц будем пользоваться буквой 
: 
, где 
, если 
, если 
, где 
– угол рассеяния первоначально покоящихся частиц в лабораторной системе отсчета.
в лабораторной системе отсчета составляет 
мб/ср. Рассчитать величину интегрального сечения, если угловая зависимость дифференциального сечения рассеяния в системе центра масс имеет вид 
, где 
барн.
МэВ рассеиваются кулоновским полем ядер атомов свинца. Определить дифференциальные сечения рассеяния 
-частиц 
и 
на угол 
.
см
рад, 
см
МэВ на ядрах атома золота в интервале углов от 
до 
.
см
, 
– порядковый номер ядер золота.
см
. Вычислить сечение рассеяния 
.
см
под углом 
, если известно, что за сеанс облучения мишени толщиной 
мг/см
мкКл на детектор площадью 
см
см от мишени, попало 
упруго рассеянных протонов.
барн/ср.
мкм облучается пучком протонов с плотностью потока 
частиц/см
с. Кинетическая энергия протонов 
МэВ. Сколько протонов на единицу телесного угла падает в секунду на детектор, расположенный под углом 
к оси пучка? Площадь пятна пучка на мишени 
мм
частиц/с
ср, где 
– плотность фольги.
мкм облучается пучком 
частиц/см
к оси пучка? Площадь пятна пучка на мишени 
частиц/с
МэВ падает нормально на золотую фольгу толщиной 
мг/см
, регистрируются детектором площади 
см от места рассеяния. Найти долю 
, где
– зарядовое число 
и 
кэВ падает нормально на золотую фольгу толщиной 
, регистрирует счетчик, круглое входное отверстие которого имеет площадь 
.
см число зарегистрированных 
.
, 
– отношение числа зарегистрированных 
МэВ испытывают резерфордовское рассеяние на серебряной пластинке толщиной 
мкм. Какая часть налетающих протонов будет рассеяна на углы больше 
?
, 
– концентрация ядер мишени.
МэВ испытывают резерфордовское рассеяние на свинцовой фольге толщиной 
?
.
МэВ при прохождении свинцовой фольги толщиной 
мкм испытает рассеяние в интервале углов: а) 
; б) 
.
; б) Вероятность 
, где 
МэВ и интенсивностью 
частица/с падает нормально на золотую фольгу толщиной 
; в) 
.
частиц; б) а) 
частиц, где 
– толщина мишени, 
– интенсивность пучка 
частиц.
мг/см
:
.
. Здесь 
– соотношение меди и цинка в латунной фольге.
мг/см
– часть первоначального потока, рассеивающегося под углами 
. Найти дифференциальное сечение рассеяния 
.
см
– массовая толщина свинцовой фольги.
см
– число 
. Углы 
и 
известны, причем рассеяние в пределах этих углов подчиняется формуле Резерфорда.
и площадью поперечника 
в элемент телесного угла 
в направлении точки 
в окрестности точки 
, ориентированную перпендикулярно направлению падения первоначального пучка.
, 
, где 
