Нахождение положений и скоростей двух частиц, рассматриваемых как материальные точки, в любой момент времени в отсутствие внешних сил составляет так называемую задачу двух тел. Если потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом зависит только от расстояния между ними, задача о движении таких частиц имеет общее решение в квадратурах. Причем значительное его упрощение достигается переходом в систему центра масс частиц.

Таким образом, относительно произвольной инерциальной системы отсчета каждая из векторных функций и , определяющих положения частиц в пространстве со временем, представляют собой сумму двух векторных функций от .

Одна из этих функций в каждом из уравнений для радиус-векторов частиц есть закон изменения положения центра масс частиц со временем относительно выбранной системы отсчета. Поскольку рассматриваемые частицы считаются замкнутой системой, ее центр масс движется равномерно и прямолинейно:

где положение центра масс в некоторый начальный момент времени определяется заданными начальными положениями частиц (см. ), а скорость движения центра масс – заданными начальными скоростями или импульсами частиц (см. ).

Другая функция в каждом из уравнений для и описывает движение соответствующей частицы в системе центра масс.

Движение частиц в системе центра масс не является независимым. В любой момент времени

где , – массы частиц, , – соответствующие этим частицам радиус-векторы относительно системы центра масс (см. Рис. )¹. Поэтому удобно ввести радиус-вектор , характеризующий относительное расположение частиц. Этот радиус-вектор называется относительным радиус-вектором. Он берет начало в точке нахождения второй частицы и заканчивается в точке расположения первой.

Каждый из радиус-векторов частиц в системе центра масс может выражен через :

где – суммарная масса частиц.

Аналогично, скорости частиц в системе центра масс могут быть представлены через одну векторную функцию – относительную скорость частиц .

В системе центра масс уравнения движения частиц сводятся к одному уравнению для относительного радиус-вектора. Это уравнение представляет собой уравнение движения одной воображаемой точки с массой, равной приведенной массе двух частиц , в центрально-симметричном поле неподвижного силового центра, как бы помещенного в центр масс системы рассматриваемых частиц. Общее решение этой задачи известно и представимо в квадратурах:

где – энергия -точки или относительная энергия частиц (которая есть суммарная энергия частиц в их системе центра масс), , – потенциальная энергия взаимодействия частиц.

Первое уравнение в (6.4) есть скалярное произведение орбитального момента импульса -точки или суммарного орбитального момента частиц в их системе центра масс ² и относительного радиус-вектора частиц. В записи выражения для импульс -точки или относительный импульс частиц . Поскольку суммарный момент импульса замкнутой системы – сохраняющаяся величина, рассматриваемое уравнение определяет плоскость движения -точки. Эта плоскость проходит через центр масс перпендикулярно постоянному вектору (Рис. 6.2).

Второе и третье равенства в (6.4) определяют движение -точки на указанной плоскости в полярных координатах.

С помощью (6.4) и заданных начальных условий, таким образом, можно определить функцию и тем самым с помощью (6.3) найти положения частиц относительно системы центра масс.

Из общего решения задачи двух тел следует, что относительно выбранной инерциальной системы отсчета центр масс частиц движется равномерно и прямолинейно, а обе частицы относительно системы центра масс совершают движение в плоскости, проходящей чрез центр масс и сохраняющей свою ориентацию относительно изначальной системы отсчета; траектории двух частиц относительно системы центра масс подобны, а центр подобия находится в центре масс, причем соотношение подобия равно отношению масс частиц.

>>Классическая задача рассеяния двух частиц

Введение <<

1. Воспользовавшись преобразованием Галилея для радиус-векторов частиц при переходе из выбранной системы отсчета в систему центра масс, запишите и упростите связь векторов и .
2. Эта величина также называется относительным орбитальным моментом.