Движение любой частицы (или так называемой материальной точки) рассматривается заданием системы отсчета.

Система отсчета (система ) – совокупность тел, снабженных приборами для измерения пространственных и временных промежутков. В качестве такой системы отсчета можно взять произвольное твердое тело и жестко связать с ним координатные оси, например, декартовой прямоугольной системы координат. Тогда положение частицы относительно данной системы отсчета задается тремя числами: координатами , , , представляющими собой расстояния от частицы до координатных плоскостей , и соответственно (Рис. 3.1)

Зачастую для задания положения частицы и некоторых ее кинематических характеристик относительно выбранной системы отсчета используют особые математические объекты геометрические векторы с определенными правилами действия над ними (сложение векторов и умножение вектора на число).

Произвольный вектор может быть представлен в виде линейной комбинации (т.е. с помощью введенных операций сложения векторов и умножения их на число) некоторого определенного числа линейно-независимых векторов так называемого базиса. Для всех векторов в пространстве в качестве базиса могут быть выбраны три единичных (длина равна единице) взаимно перпендикулярных вектора , , , направления которых совпадают с направлениями осей , , декартовой системы координат соответственно (Рис. 3.2). Тогда произвольный вектор может быть представлен в виде: , где , , координаты вектора в рассматриваемом базисе. Если все векторы, , , , , отложены от начала координат (точка ), числа , , являются расстояниями от т. до точек пересечения плоскостей, проведенных через конец вектора и параллельных плоскостям , и , с осями , , соответственно (Рис. 3.2). Числа , , также называются числовыми проекциями (или просто проекциями) вектора на соответствующие координатные оси.

Положению частицы относительно некоторой системы отсчета ставится в соответствие радиус-вектор вектор, начало которого закреплено в начале отсчета системы (т. ), а конец в точке пространства расположения рассматриваемой частицы. В системе отсчета с прямоугольными координатными осями радиус-вектор может быть разложен по базисным векторам , , (Рис. 3.3):

где числа , , координаты частицы (декартовы координаты).

Определить закон движения частицы означает задать положение частицы в пространстве в любой момент времени относительно данной системы отсчета , т.е. задать функцию .

Пусть в момент времени частица находится в положении, задаваемом радиус-вектором . Через некоторое время она переместится в положение с радиус-вектором (рис. 3.4).

Вектор

определяет среднюю скорость движения частицы за время . Этот вектор характеризуется направлением от точки, задаваемой положением вектора , к точке, в которой находится конец вектора .

Предел средней скорости при , т.е. производная векторной функции в момент времени ,

называется мгновенной скоростью частицы. Мгновенная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся частицы в данный момент времени (Рис. 3.4). С определенной степенью точности, мгновенная скорость указывает направление движения частицы в последующий момент времени .

Ускорением частицы называется вектор, равный первой производной вектора скорости или второй производной радиус-вектора по времени:

На движение частицы, вообще говоря, оказывают действие другие частицы или тела. Сила, с которой произвольное тело действует на данную материальную точку (частицу), это такое влияние тела на точку, в результате которого она приобретает ускорение. Движение любых материальных объектов в связи с действующими на них силами подчинено определенным законам (законы динамики или законы Ньютона). Здесь лишь отметим, что этими законами постулируется, во-первых, существование так называемых инерциальных систем отсчета. Система отсчета, относительно которой изолированная материальная точка (т.е. точка, которая находится на весьма больших расстояниях от всех прочих тел) либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно из любого начального положения при любом направлении скорости, называется инерциальной системой отсчета (или сокращенно, и.с.о.). А, во-вторых, устанавливается связь между ускорением частицы относительно и.с.о и векторной суммой всех сил , действующих на частицу со стороны других материальных объектов:

где ─ масса частицы. Соотношение (3.5) служит, с одной стороны, определением силы, а с другой, позволяет найти положение и скорость частицы в любой момент времени, если известны масса частицы, сила как функция положения, скорости и времени, а также положение точки и ее скорость в некоторый момент времени .

Импульсом называют произведение массы частицы на ее скорость : .

Векторное уравнение (3.5) устанавливает закон изменения импульса частицы относительно некоторой инерциальной системы отсчета:

Для отыскания положений и скоростей совокупности тел, состоящей, например, из двух частиц, по известным силам, действующим на каждую частицу, необходимо для каждой из частиц записать уравнение (3.5). В математическом отношении эта задача является задачей о нахождении общего решения шести дифференциальных обыкновенных уравнений второго порядка. Однако в некоторых случаях задача значительно упрощается рассмотрением так называемых интегралов движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скоростей частиц, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями.

Для замкнутых систем (т.е. совокупности материальных точек, действием внешних сил на которые можно пренебречь) имеет место сохранение полной энергии, импульса и момента импульса системы. Рассмотрим далее некоторые из указанных законов сохранения для процесса упругого рассеяния двух частиц.

>>Теоретическая часть. Рассеяние двух частиц. Законы сохранения энергии и импульса

Оглавление <<

---

Материальной точкой называется тело исчезающе малых размеров. В задачах механики о движении реальных тел понятие материальной точки применимо к такому телу, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами, характеризующими движение этого тела.
Такие оси могут быть реализованы в виде трех взаимно перпендикулярных твердых стержней.
Связанный вектор или направленный отрезок это отрезок прямой, для которого указано, какая из ограничивающих его точек является началом, а какая концом. Направленные отрезки называются эквивалентными, когда их начала и концы могут быть совмещены параллельным переносом.
Совокупность (класс) эквивалентных направленных отрезков называется свободным геометрическим вектором или просто вектором. Для задания вектора, таким образом, достаточно указать любой из направленных отрезков данной совокупности.
Длиной вектора (нормой или абсолютной величиной) называется длина любого направленного отрезка рассматриваемой совокупности.
Сумма двух векторов есть вектор, определяемый направленным отрезком с началом в общей точке, от которой отложены исходные векторы, и с концом в противоположной этой точке вершине параллелограмма, построенного на исходных векторах (см. рисунок ниже).
Произведением вектора на вещественное число является вектор, длина которого равна произведению длины исходного вектора и модуля заданного вещественного числа, а направление совпадает с направлением исходного вектора, если вещественное число положительное, либо имеет противоположное указанному направление в случае умножения на отрицательное число.
Система векторов является линейно-независимой, когда ни один из ее векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.