Задача 3. Для исследования структур с линейными размерами порядка Фм (характерные размеры легких ядер) с помощью электронных и протонных ускорителей требуются пучки зондирующих частиц с импульсами не менее МэВ и ГэВ соответственно. Вычислить кинетические энергии электронов и протонов таких пучков.

Решение. На основании формул (1.4) и (1.5) кинетическая энергия релятивистской частицы с массой , движущейся с импульсом , рассчитывается с помощью следующего выражения

.

Согласно условию задачи, минимально допустимый импульс электронов пучка составляет МэВ. Для этой величины импульса и для более высоких его значений выполняется неравенство (см. Таблицу 2). Поэтому для расчета соответствующей кинетической энергии степенную функцию в правой части последнего равенства можно представить в виде разложения по малому параметру :

.

С точностью до первой степени отношения , кинетическая энергия частицы, для которой , есть

.

Заметим, что для такой частицы и . Поэтому с хорошей точностью можно записать ее полную энергию в виде . Это соотношение между энергией и импульсом является точным для фотонов, а для частиц с ненулевой массой тем точнее, чем выше скорость частицы. Частицы, для которых или , характеризуются движением со скоростями, близкими к скорости света, и называются ультрарелятивистскими (см. задания 26 и 27 Контрольных вопросов).

Для электронов с импульсом МэВ кинетическая энергия составит

МэВ МэВ.

Отношение в этом случае имеет порядок , что дает относительную погрешность вычисления кинетической энергии по приближенной формуле в доли процента.

Более высокие значения импульса электронов пучка в ускорителе соответствуют более высокой кинетической энергии. Вычисленная по формуле , она имеет еще более высокую точность.

У протонов, ускоренных до импульса ГэВ, произведение порядка их энергии покоя (см. Таблицу 2). Действительно, ГэВ МэВ Мэв. В этом случае для расчета кинетической энергии необходимо пользоваться общей формулой:

МэВ МэВ.

С ростом величины импульса протонов их кинетическая энергия растет, но нелинейно. Пропорциональность имеет место в ультрарелятивистском пределе.

Ответ. Кинетические энергии, на которые должны быть рассчитаны электронный и протонный ускорители, составляют величины не менее МэВ и МэВ соответственно.

>>Контрольные вопросы и задания

Оглавление <<